Question

如圖所示，是某公園設計的一種游樂設施，所有軌道均光滑，AB面與水平面成一定夾角．一無動力小滑車質量為m=10kg，沿斜面軌道由靜止滑下，然后滑入第一個圓形軌道內側，其軌道半徑R=2.5m，不計過B點的能量損失，根據設計要求，在圓軌道最低點與最高點各放一個壓力傳感器，測試小滑車對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來．小滑車到達第一圓軌道最高點C處時剛好對軌道無壓力，又經過水平軌道滑入第二個圓形軌道內側，其軌道半徑r=l．5m，然后從水平軌道上飛入水池內，水面離水平軌道的距離為h=5m．g取10m/s²，小滑車在運動全過程中可視為質點．求：
（1）小滑車在第一圓形軌道最高點C處的速度v_C的大小；
（2）在第二個圓形軌道的最高點D處小滑車對軌道壓力N的大小；
（3）若在水池內距離水平軌道邊緣正下方的E點s=12m處放一氣墊（氣墊厚度不計），要使小滑車既能安全通過圓軌道又能落到氣墊之上，則小滑車至少應從離水平軌道多高的地方開始下滑？

Answer 1

分析：（1）小車在C點對軌道恰好無壓力，根據重力恰好等于向心力列式求解；
（2）對從C到D過程運用動能定理列式求解D點速度，再根據在D點時重力和彈力的合力提供向心力列式求解彈力大小；
（3）根據平拋運動的分位移公式列式求出平拋運動的初速度，再對從開始到平拋起點的過程運用動能定理列式求解．

解答：解：（1）在C點：mg=m

v2

R

解得：v=5m/s
即小車通過C點的速度為5m/s．
（2）從C點到D點過程，根據動能定理，有
mg(2R-2r)=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2

在D點：mg-N=m

v 2 D

r

解得N=333.3N
由牛頓第三定律知，小車對軌道的壓力為333.3N．
（3）小滑車要安全通過圓形軌道，在平臺上的速度至少為v₀，從釋放到平拋初位置過程，根據動能定理，有
mgH=

1

2

mv

2 0

    ①
從開始釋放到C點過程，根據動能定理，有
mg(H-2R)=

1

2

mv

′

2 C

        ②
要能通過圓軌道，有
v′_C＞5m/s        ③
對于平拋運動，有
h=

1

2

gt2          ④
S=v₀t          ⑤
由①②③④⑤解得
H=7.2m
即小滑車至少應從離水平軌道7.2m的地方開始下滑．

點評：本題關鍵要分析清楚小車的運動情況，然后根據向心力公式、牛頓第二定律、平拋運動分位移公式、動能定理列式求解；切入點在于小球恰好通過C點．