Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直xOy平面向里，電場(chǎng)線平行于y軸．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點(diǎn)水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)和磁場(chǎng)，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)第一次離開(kāi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)，MN之間的距離為L(zhǎng)，小球過(guò)M點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸正方向夾角為θ．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向；
（2）小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀的大小．

Answer 1

分析：（1）帶電小球在受到重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力共同作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可得知電場(chǎng)力與重力是一對(duì)平衡力，從而可得知電場(chǎng)的方向；由二力平衡可求出電場(chǎng)的大小．
（2）先由幾何關(guān)系表示出小球在復(fù)合場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合半徑公式和速度的分解，便可求出小球拋出時(shí)的初速度．

解答：解：
（1）小球在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所受電場(chǎng)力必須與重力平衡（恒力不能充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力），有：
qE=mg…①
E=

mg

q

…②
重力的方向是豎直向下的，電場(chǎng)力的方向則應(yīng)為豎直向上，由于小球帶正電，所以電場(chǎng)強(qiáng)度方向豎直向上．
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，O′為圓心，MN為弦長(zhǎng)，∠MO′P=θ，
設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知：

L

2r

=sinθ…③
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v，有
qvB=

mv2

r

…④
由速度的合成與分解知

v0

v

=cosθ…⑤
由③④⑤式得：
v₀=

qBL

2m

cotθ
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為

mg

q

，方向豎直向上；
（2）小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀的大小為

qBL

2m

cotθ．

點(diǎn)評(píng)：該題考察到了復(fù)合場(chǎng)的問(wèn)題，即在同一區(qū)域內(nèi)同時(shí)存在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)三者中的任何兩個(gè)，或三者都存在．此類問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，受力不復(fù)雜，但仔細(xì)分析其運(yùn)動(dòng)往往比較難以把握．
常用的處理方法：
1、建立帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的物理情景．
2、物理情（圖）景與解析幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合，將物理問(wèn)題化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
思想方法：數(shù)理結(jié)合，建模和化歸的思想方法．
解題思維流程：題給文字信息→建立物理圖景→化歸為幾何問(wèn)題→還原為物理結(jié)論（構(gòu)建物理圖景（模型）是關(guān)鍵、化歸為幾何問(wèn)題是手段）．