Question

（2010?普陀區一模）如圖所示，兩足夠長的平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為，導軌平面與水平面的夾角=30°，導軌電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面向上．長為 的金屬棒 垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為、電阻為r=R．兩金屬導軌的上端連接一個燈泡，燈泡的電阻R_L=R，重力加速度為g．現閉合開關S，給金屬棒施加一個方向垂直于桿且平行于導軌平面向上的、大小為F=mg的恒力，使金屬棒由靜止開始運動，當金屬棒達到最大速度時，燈泡恰能達到它的額定功率．求：
（1）金屬棒能達到的最大速度v_m；
（2）燈泡的額定功率P_L；
（3）金屬棒達到最大速度的一半時的加速度a；
（4）若金屬棒上滑距離為L時速度恰達到最大，求金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產生的電熱Q_r．

Answer 1

分析：（1）金屬棒由靜止開始先加速度減小的加速運動后做勻速運動時，速度達到最大，根據平衡條件和E=BLv_m、I=

E

R+r

、F_安=BIL結合求出最大速度v_m．
（2）由題，金屬棒達到最大速度時，燈泡恰能達到它的額定功率，只要求出金屬棒勻速運動時的電流，即可由P=I²R求出燈泡的額定功率．
（3）當金屬棒達到最大速度的一半時，先求出安培力，再由牛頓第二定律求出加速度a．
（4）根據能量守恒定律求出金屬棒上產生的電熱Q_r．

解答：解：（1）金屬棒勻速運動時速度最大，則有F=mgsinθ+F_安
又E=BLv_m、I=

E

R+r

=

E

2R

、F_安=BIL
聯立解得，v_m=

2(F-mgsinθ)

B2L2

=

2mg(1-sinθ)

B2L2

（2）由上得 I=

BLvm

2R

=

mg(1-sinθ)

BL

燈泡的額定功率為P=I²R=

m2g2(1-sinθ)2

B2L2R

（3）金屬棒達到最大速度的一半時，速度為v=

mg(1-sinθ)

B2L2

安培力為F_安′=

B2L2v

2R

根據牛頓第二定律得：F-mgsinθ-F_安′=ma
聯立解得，a=

F

2m

-

1

2

gsinθ
（4）根據能量守恒定律得：2Q_rQ_r+

1

2

m

v

2 m

+mg?4Lsinθ=F?4L
解得，Q_rQ_r=2FL-2mgLsinθ-2

m3g2(1-sinθ)2

B4L4

答：
（1）金屬棒能達到的最大速度v_m為

2mg(1-sinθ)

B2L2

．
（2）燈泡的額定功率P_L為

m2g2(1-sinθ)2

B2L2R

．
（3）金屬棒達到最大速度的一半時的加速度a為

F

2m

-

1

2

gsinθ．
（4）金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產生的電熱Q_r為2FL-2mgLsinθ-2

m3g2(1-sinθ)2

B4L4

．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，其橋梁是安培力，要學會推導安培力的表達式，分析棒的運動情況，根據牛頓第二定律和能量守恒處理這類問題．