Question

如圖所示，在x軸下方的區域內存在方向與y軸相同的勻強電場，電場強度為E．在x軸上方以原點O為圓心、半徑為R的半圓形區域內存在勻強磁場，磁場的方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應強度為B．y軸下方的A點與O點的距離為d．一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點由靜止釋放，經電場加速后從O點射入磁場．不計粒子的重力作用．
（1）求粒子在磁場中運動的軌道半徑r．
（2）要使粒子進入磁場之后不再經過x軸，電場強度需大于或等于某個值E₀．求E₀．
（3）若電場強度E等于第（2）問E₀的

2

3

，求粒子經過x軸時的位置．

Answer 1

（1）粒子在電場中加速，由動能定理得qEd=

1

2

mv2  ①
粒子進入磁場后做圓周運動，有qvB=m

v2

r

  ②
解得粒子在磁場中運動的半徑  r=

2mqEd

qB

 ③
（2）要使粒子之后恰好不再經過x軸，則離開磁場時的速度方向與x軸平行，運動情況如圖①，由幾何知識可得  R=

2

r    ④
由以上各式解得  E0=

qB2R2

4md

  ⑤
（3）將E=

2

3

E0代入可得磁場中運動的軌道半徑 r=

R

3

  ⑥
粒子運動情況如圖②，圖中的角度α、β滿足  cosα=

R 2

r

=

3

2

   即α=30°   ⑦
則得  β=2α=60°             ⑧
所以  粒子經過x軸時的位置坐標為x=r+

r

cosβ

  ⑨
解得x=

3

R  ⑩
答：
（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑r為

2mqEd

qB

．
（2）要使粒子進入磁場之后不再經過x軸，電場強度需大于或等于某個值E₀．E₀為

qB2R2

4md

．
（3）若電場強度E等于第（2）問E₀的

2

3

，粒子經過x軸時的位置為x=

3

R．