Question

如圖所示，光滑水平面上，質量為m的小球B連接著輕質彈簧，處于靜止狀態，質量為2m的小球A以大小為v₀的初速度向右運動，接著逐漸壓縮彈簧并使B運動，過一段時間，A與彈簧分離．
（1）當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能Ep多大？
（2）若開始時在B球的右側，某位置固定一擋板，在A球與彈簧未分離前使B球與擋板碰撞，并在碰后立刻將擋板撤走，設B球與擋板的碰撞時間極短，碰后B球的速度大小不變但方向相反，欲使此后彈簧被壓縮到最短時，彈性勢能達到第（1）問中Ep的2.5倍，必須使B球的速度多大時與擋板發生碰撞？

Answer 1

分析：（1）當彈簧壓縮至最短時，兩球的速度相等，根據系統的動量守恒和機械能守恒列式，即可求出彈簧的彈性勢能E_P．
（2）設B球與擋板碰撞時，A球速度為v₁、B球速度為v₂（均向右），根據動量守恒列式，B球與擋板剛碰后，A球速度為v₁、B球速度為-v₂（向左），此后彈簧壓縮至最短時有共同速度，再由系統的動量守恒和機械能守恒列式，即可得解．

解答：解：（1）當彈簧壓縮到最短時，A、B的速度相等，2mv₀=3mv₁ ①
A和B的共同速度v₁=

2

3

v₀
根據系統的機械能守恒得

1

2

?2mv₀²=

1

2

?3mv₁²+Ep          ②
解得 此時彈簧的彈性勢能Ep=

1

3

mv₀²                    ③
（2）B碰擋板時沒有機械能損失，碰后彈簧被壓縮到最短時，A、B速度也相等，

1

2

?2mv₀²=

1

2

?3mv₂²+Ep′④
   Ep′=2.5Ep=

5

6

mv₀²
解得v₂=±

v0

3

⑤
取向右為正方向．若v₂=

v0

3

，則表示B球與板碰撞后，A、B此時一起向右運動．B球與板碰撞前B與A動量守恒
 2mv₀=2 mv_A+mv_B⑥
B球與板碰撞后B與A動量也守恒
  2mv_A-mv_B=3m?

v0

3

⑦
解得   v_A=

3

4

v₀，v_B=

v0

2

因為此時v_A＞v_B，彈簧還將繼續縮短，所以這種狀態是能夠出現的，
若v₂=-

v0

3

，則表示B球與板碰撞后A、B向左運動，B球與板碰撞后B和A動量守恒
  2mv_A-mv_B=3mv₂=-3m?

v0

3

 ⑧
由⑥⑧可得，v_A=

v0

4

，v_B=

3

2

v₀                    
此時A、B球的總動能E_K總=

1

2

?2mv_A²+

1

2

mv_B²=m（

v0

4

）²+

1

2

（

3

2

v₀）²=

19

16

mv₀² 
E_K總大于A球最初的動能mv₀²，因此v_B=

3

2

v₀這種狀態是不可能出現的，因此必須使B球在速度為

v0

2

時與擋板發生碰撞．   ⑨
答：
（1）當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能Ep為

1

3

mv₀²．
（2）必須使B球在速度為

v0

2

時與擋板發生碰撞．

點評：本題是含有彈簧的問題，要分析物體的運動過程，抓住系統的動量守恒和機械能守恒進行分析，綜合性較強．