Question

我國北方地區近年來遭遇嚴重的沙塵暴天氣，現把沙塵上揚后的情況簡化為如下情景：v為豎直向上的風速，沙塵顆粒被揚起后懸浮在空中（不動），這時風對沙塵的作用力相當于空氣不動而沙塵以速度v豎直向下運動時所受的阻力．此阻力可用下式表達f=aρAv²其中a為一系數，A為沙塵顆粒的截面積，ρ為空氣密度．（球體體積V=

4

3

πR³）
（1）若沙粒的密度ρ₅，沙塵顆粒為球形，半徑為r，地球表面處空氣密度ρ₀，試估算在地面附近上述v的最小值．
（2）假定空氣密度ρ隨高度h的變化關系為ρ=ρ₀（1-Ch）其中ρ₀為h=0處的空氣密度，C為一常量，試估算當v=v₀、揚沙穩定時的最大高度．（不考慮g隨高度的變化）

Answer 1

（1）沙粒懸浮在空中，所受阻力與重力平衡，即：
mg=f…①
m=ρ_sV=ρ_s

4

3

πr³…②
f=aρ₀Avmin2=aρ₀πr²vmin2…③
v_min=

4ρsrg 3aρ0

…④
（2）由于高度增加，空氣密度減小，故當速度為 v₀時，隨著沙粒的上升，沙粒所受阻力減小，當沙粒所受阻力與重力平衡時，沙粒懸浮在空中不再上升，此時揚沙高度最大：
mg=f
m=ρ_sV=

4

3

πr³
f=aρ₀（1-ch_m）Av02…⑤
得：h_m=

1

C

（1-

4rρsg

3av02ρ0

）…⑥
答：（1）在地面附近上述v的最小值為

4ρsrg 3aρ0

．
（2）當v=v₀、揚沙穩定時的最大高度為得：

1

C

（1-

4rρsg

3av02ρ0

）．