Question

【題目】如圖，半徑R=0.8m的光滑圓弧軌道固定在水平地面上，O為該圓弧的圓心，軌道上方的A處有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=1kg的小物塊，小物塊由靜止開始下落后恰好沿切線進(jìn)入圓弧軌道．此后小物塊將沿圓弧軌道下滑，已知AO連線與水平方向的夾角θ=45°，在軌道末端C點(diǎn)緊靠一質(zhì)量M=3kg的長木板，木板上表面與圓弧軌道末端的切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，g取10m/s2 ． 求：

（1）小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：小物塊從A到C，機(jī)械能守恒，設(shè)在C點(diǎn)的速度為vC

因?yàn)?

所以

故小物塊剛到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為

（2）解：對小物塊，在C點(diǎn)受到重力和軌道對它的豎直向上的支持力．由牛頓第二定律得：

則

=

=50N

由牛頓第三定律得：小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．

故小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．

（3）解：對小物塊，在C點(diǎn)受到重力和軌道對它的豎直向上的支持力．由牛頓第二定律得：

則

=

=50N

由牛頓第三定律得：小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．

故小物塊剛要到達(dá)圓弧軌道末端C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力的大小為50N，方向豎直向下．

設(shè)小物塊剛滑到木板右端時(shí)達(dá)到共同速度，大小為v

對系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：

mvc=（M+m）v

則

=

=

對小物塊，與長木板發(fā)生相對滑動(dòng)的過程中，由動(dòng)能定理得：

帶人數(shù)據(jù)解得：小物塊在該過程中相對于地面所發(fā)生的位移 xm=5m

對長木板，與小物塊發(fā)生相對滑動(dòng)的過程中，由動(dòng)能定理得：

帶人數(shù)據(jù)解得：長木板在該過程中相對于地面所發(fā)生的位移xM=1m

長木板的長度至少為L=xm﹣xM

=5m﹣1m

=4m

答：要使小物塊不滑出長木板，木板長度L至少為4 m．

【解析】（1）物體下滑到c的過程中，機(jī)械能守恒，利用機(jī)械能守恒定律列式求解。
（2）物體滑到c點(diǎn)時(shí)所受的合外力，提供向心力，結(jié)合向心力公式，以及受力分析，求解即可。
（3）物化而不滑出長木板代表物塊滑到長木板右端時(shí)，應(yīng)與長木板速度相同，分析整個(gè)過程，利用動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理列方程求解。