Question

磁懸浮列車是一種高速運載工具．它具有兩個重要系統：一是懸浮系統，利用磁力使車體在導軌上懸浮起來；另一是驅動系統，在沿軌道上安裝的三相繞組中，通上三相交流電，產生隨時間和空間做周期性變化的磁場，磁場與固連在車體下端的感應金屬板相互作用，使車體獲得牽引力．
設圖中xOy平面代表軌道平面，x軸與軌道平行，現有一與軌道平面垂直的磁場正以速度v向-x方向勻速運動，設在t=0時，該磁場的磁感應強度B的大小隨空間位置x的變化規律為B=B₀coskx（式中B₀、k為已知常量），且在y軸處，該磁場垂直xOy平面指向紙里．與軌道平面平行的一金屬矩形框MNPQ處在該磁場中，已知該金屬框的MN邊與軌道垂直，長度為L，固定在y軸上，MQ邊與軌道平行，長度為d=

π

k

，金屬框的電阻為R，忽略金屬框的電感的影響．求：
（1）t=0時刻，金屬框中的感應電流大小和方向；
（2）金屬框中感應電流瞬時值的表達式；
（3）經過t=

10π

kv

時間，金屬框產生的熱量；
（4）畫出金屬框受安培力F隨時間變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）根據切割感應電動勢與閉合電路歐姆定律，即可確定感應電流的大小，再由右手定則可確定感應電流的方向；
（2）根據閉合電路歐姆定律，與運動學公式，即可求解；
（3）根據焦耳定律，即可求解；
（4）根據安培力的表達式，結合前面的結論，從而可根據關系式，作出圖象．

解答：解：（1）磁場向-x方向運動，等效金屬框向x方向運動．
t=0時刻，金屬框產生的電動勢e=2B₀Lv 
由閉合電路歐姆定律，則有 i=

e

R

=

2B0Lv

R

電流的方向根據右手定則可知為M→N→P→Q→M
（2）設經過時間t，金屬框MN所在處磁場強度為B，i=

2BLv

R

=

2B0Lv

R

cos(kx)
又x=vt，得到電流瞬時值的表達式是：i=

2B0Lv

R

cos(kvt)，是正弦式電流．
（3）根據焦耳定律，則有Q=(

Im

2

)2Rt=

20π B 2 0 L2v

kR

（4）金屬框受安培力的方向始終向左．設經過時間t，
金屬框受到安培力為F安=2BiL=

4B2L2v

R

=

4 B 2 0 L2v

R

cos2(kvt)=

2 B 2 0 L2v

R

[cos(2kvt)+1]
由此可知：金屬框受到安培力F隨時間變化的圖象如右圖：
答：（1）t=0時刻，金屬框中的感應電流大小

2B0Lv

R

和方向為M→N→P→Q→M；
（2）金屬框中感應電流瞬時值的表達式：i=

2B0Lv

R

cos(kvt)；
（3）經過t=

10π

kv

時間，金屬框產生的熱量

20π B 2 0 L2v

kR

；
（4）畫出金屬框受安培力F隨時間變化的圖象如上圖所示．

點評：考查法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律與焦耳定律，掌握右手定則，注意與左手定則的區別，同時由電流的有效值來確定熱量的多少，最后掌握安培力的表達式，突出電流變化的關系式．