Question

如圖甲所示，“目”字形軌道的每一短邊的長度都等于a，只有四根平行的短邊有電阻，阻值都是r，不計其它各邊電阻．使導軌平面與水平面成夾角θ固定放置，如圖乙所示．一根質量為m的條形磁鐵，其橫截面是邊長為a的正方形，磁鐵與導軌間的動摩擦因數為μ，磁鐵與導軌間絕緣．假定導軌區域內的磁場全部集中在磁鐵的端面，并可視為勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直導軌平面．開始時磁鐵端面恰好與正方形3重合，現使其以某一初速度下滑，磁鐵恰能勻速滑過正方形2，直至磁鐵端面恰好與正方形1重合．已知重力加速度為g．求：

（1）上述過程中磁鐵運動經歷的時間；
（2）上述過程中所有電阻消耗的電能．

Answer 1

分析：（1）磁鐵勻速進入正方形2過程，線框2產生感應電動勢，畫出等效電路圖，由法拉第定律、歐姆定律、安培力公式求出切割磁感線的短邊受到的安培力，由牛頓第三定律得到磁鐵所受的安培力．由于磁鐵勻速運動，受力平衡，由平衡條件列式，求出磁鐵勻速運動的速度，即可由運動學公式求出時間．
（2）根據能量守恒求所有電阻消耗的電能．

解答：解：（1）設磁鐵勻速進入正方形2的速度為v，等效電路如圖所示．
感應電動勢   E=Bav
總電阻     R=r+

r

3

=

4

3

r
感應電流    I=

E

R

=

3Bav

4r

切割磁感線的短邊受到的安培力 F=BIa=

3B2a2v

4r

短邊受到的安培力與磁鐵受到的力是作用力與反作用力
根據平衡條件    mgsinθ=F+f             
滑動摩擦力      f=μ mgcosθ              
解得：v=

4mgr(sinθ-μcosθ)

3B2a2

當磁鐵進入正方形1時，仍以速度v做勻速直線運動．
整個過程磁鐵運動經歷的時間 t=

2a

v

解得：t=

3B2a3

2mgr(sinθ-μcosθ)

（2）根據能量守恒定律   mg?2asinθ=μ mg cosθ?2a+E   
解得：E=2mga（sinθ-μ cosθ）         
答：
（1）上述過程中磁鐵運動經歷的時間為

3B2a3

2mgr(sinθ-μcosθ)

；
（2）上述過程中所有電阻消耗的電能為2mga（sinθ-μ cosθ）．

點評：本題打破常規，是磁鐵運動，導體不動，仍然運用電磁感應的基本規律：法拉第定律、歐姆定律、安培力公式，結合平衡條件和能量守恒進行求解．