Question

（2011?武昌區模擬）我國已啟動“嫦娥工程”，并于2007年10月24日和2010年10月1日分別將“嫦娥一號”和“嫦娥二號”成功發射，“嫦娥三號”亦有望在2013年落月探測90天，并已給落月點起了一個富有詩意的名字-“廣寒宮”．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，請求出月球繞地球運動的軌道半徑r．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請求出月球的質量M_月．

Answer 1

分析：研究月球繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式；
運用黃金代換式GM=gR²求出問題．
根據豎直上拋的運動規律求出月球表面重力加速度；
再次運用萬有引力等于重力求出月球的質量．

解答：解：（1）根據萬有引力定律和牛頓第二定律得：
G

M月M

r月2

=M月(

2π

T

)2r月  ①
質量為m的物體在地球表面時：mg=G

Mm

R2

  ②
由①②得：r _月=

3	gR2T2 4π2

（2）設月球表面處的重力加速度為g_月，
根據豎直上拋的運動規律有：v0=

g月t

2

  ③，
根據萬有引力等于重力得：g月=

GM月

r 2 月

   ④，
由③④解得：M_月=

2v0 r 2 月

Gt

答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑為

3	gR2T2 4π2

（2）月球的質量為

2v0 r 2 月

Gt

點評：把星球表面的物體運動和天體運動結合起來是考試中常見的問題．
重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯系的物理量．