Question

一個質量為m、直徑為d、電阻為R的金屬圓環，在范圍足夠大的磁場中豎直向下落，磁場的分布情況如圖所示.已知磁感應強度豎直方向分量B_y的大小只隨高度y變化，其隨高度y變化關系為B_y=?B₀(1+ky)?(此處k為比例常數，且k＞0)，其中沿圓環軸線的磁場方向始終豎直向上.金屬圓環在下落過程中的環面始終保持水平，速度越來越大，最終穩定為某一數值，稱為收尾速度.求：

(1)圓環中感應電流的方向；
(2)圓環收尾速度的大小.

Answer 1

(1)順時針(俯視觀察)
(2)16mgR/π²k²B₀²d⁴

(1)根據楞次定律可知感應電流的方向為順時針(俯視觀察).
(2)圓環下落高度為y時的磁通量為
Φ=BS=Bπ=B₀(1+ky)π                                                 ①
設收尾速度為v_m，以此速度運動Δt時間內磁通量的變化為：ΔΦ=ΔBS=B₀kπv_mΔt ②
根據法拉第電磁感應定律有
E==B₀kπv_m                                                       ③
圓環中感應電流的電功率為                                      ④
重力做功的功率為P_G=mgv_m                                              ⑤
根據能的轉化和守恒定律有P_E=P_G                                        ⑥
由①—⑥解得v_m=16mgR/π²k²B₀²d⁴.