Question

【題目】如圖，xOy平面處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向外。點P（，0）處有一粒子源，向各個方向發射速率不同、質量為m、電荷量為－q的帶電粒子。粒子1以某速率v1發射，先后經過第一、二、三象限后，恰好沿x軸正向通過點Q（0，－L）。不計粒子的重力。

(1)求粒子1的速率v1和第一次從P到Q的時間t1；

(2)若只撤去第一象限的磁場，另在第一象限加y軸正向的勻強電場，粒子2以某速率v2發射，先后經過第一、二、三象限后，也以速率v1沿x軸正向通過點Q，求勻強電場的電場強度大小E以及粒子2的發射速率v2；

(3)若在xOy平面內加上沿y軸負向的勻強電場，場強大小為 E0，粒子3以速率 v3 沿 y 軸正向發射，粒子將做復雜的曲線運動，求粒子3在運動過程中的最大速率 vm。某同學查閱資料后，得到一種處理相關問題的思路：帶電粒子在正交的勻強磁場和勻強電場中運動，若所受洛倫茲力與電場力不平衡而做復雜的曲線運動時，根據運動的獨立性和矢量性，可將帶電粒子的初速度進行分解，將帶電粒子的運動等效為沿某方向的勻速直線運動和沿某一時針方向的勻速圓周運動的合運動。本題中可將帶電粒子的運動等效為沿x軸負方向的勻速直線運動和沿某一時針方向的勻速圓周運動的合運動。請嘗試用該思路求解粒子3的最大速率vm。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)，；(3)

【解析】

(1)粒子1在第一、二、三象限做圓周運動，軌跡如圖：

設半徑為，由幾何知識得

可得

由向心力公式，根據牛頓第二定律

可得

設粒子做圓周運動的周期為

由幾何知識可知

粒子第一次從P到Q的時間

(2)粒子2在二、三象限的運動與粒子1完全相同，粒子2在第一象限做類斜拋運動，并且垂直經E過y軸，可以逆向思考，由牛頓第二定律得

x軸方向

y軸方向

可得

根據

可得

(3)根據提示，可將粒子的初速度分解，如圖：

根據平衡條件

可得

根據運動的合成，可知

粒子的運動可視為水平向左的速率為的勻速直線運動和初速度為的逆時針的圓周運動的合運動，所以粒子的最大速率為

可得