Question

【題目】如圖甲所示，勁度系數為k的輕質彈簧上端固定，下端連接質量為m的小物塊。以小物塊的平衡位置為坐標原點O，以豎直向下為正方向建立坐標軸Ox。現將小物塊向上托起，使彈簧恢復到原長時將小物塊由靜止釋放，小物塊在豎直方向做往復運動，且彈簧始終在彈性限度內。

(1)以小物塊經過平衡位置向下運動過程為例，通過推導說明小物塊的運動是否為簡諧運動；

(2)求小物塊由最高點運動到最低點過程中，重力勢能的變化量ΔEP1、彈簧彈性勢能的變化量ΔEP2；

(3)在圖乙中畫出由最高點運動到最低點過程中，小物塊的加速度a隨x變化的圖象，并利用此圖象求出小物塊向下運動過程中的最大速度。

Answer 1

【答案】(1)是簡諧運動；(2)；；(3) ；

【解析】

(1)設小物塊位于平衡位置時彈簧的伸長量為，則有

可得

小物塊運動到平衡位置下方處，受力如圖所示

此時彈簧彈力大小為

小物塊所受合力為

即小物塊所受合力與其偏離平衡位置的位移大小成正比，方向相反，說明小物塊的運動是簡諧運動；

(2)根據簡諧運動對稱性的特點，小物塊由最高點運動到最低點過程中，下降的高度為，重力勢能的變化量為

根據機械能守恒定律得

其中

解得彈簧彈性勢能的變化量為

(3)由最高點運動到最低點過程中，小物塊的加速度隨變化的圖象如圖所示

當時小物塊的速度最大，設合外力做功為，根據圖中圖線（或）與橫軸所圍面積得

根據

可得小物塊向下運動過程中的最大速度為