Question

【題目】如圖所示，足夠長的平直軌道AO和OB底端平滑對接，將它們固定在同一豎直平面內，兩軌道與水平地面間的夾角分別為α（固定不變）和β（可取不同的值），且α＞β，現將可視為質點的一小滑塊從左側軌道的P點由靜止釋放，若小滑塊經過兩軌道的底端連接處的速率沒有變化。已知AO軌道光滑，空氣阻力可以忽略不計。

（1）論證：滑塊在AO軌道下滑時的加速度與滑塊的質量無關；

（2）運用牛頓運動定律和運動學規律，論證：若OB光滑，取不同的β角，滑塊在OB上能到達的最高點總與P等高；

（3）運用動能定理和機械能的相關定義，論證：若OB光滑，保持β角不變，滑塊在OB上運動的過程中機械能守恒。

Answer 1

【答案】（1）論證過程如解析過程；（2）論證過程如解析過程所示；（3）論證過程如解析過程。

【解析】

（1）滑塊的受力圖（如下面左圖），沿斜面和垂直斜面建坐標軸（如下面右圖），

根據牛頓第二定律可得：mgsinα＝maA，

解得aA＝gsinα，可知與質量無關；

（2）設P點的高度為H，滑塊到O點時的速度大小為v0，則根據勻變速直線運動規律有：

類似（1）受力分析，運用牛頓第二定律，可得滑塊在OB上滑時的加速度大小為：aB＝gsinβ

設上升的最大高度為h，則由勻變速直線運動規律可知：

解得

所以有h＝H，這一結論與β無關，故滑塊在OB上能到達的最高點總與P等高；

（3）設滑塊到O點時的速度大小為v0，從O到OB上的某點K的過程中，上升的高度為hx，根據動能定理：

即

也即

上式左邊即為滑塊在任意點K所具有的機械能，右邊為在O點的動能。