Question

(1)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即＝k，k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請(qǐng)你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常數(shù)為G，太陽的質(zhì)量為M_太．
(2)開普勒定律不僅適用于太陽系，它對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立．經(jīng)測(cè)定月地距離為3.84×10⁸ m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2.36×10⁶ s，試計(jì)算地球的質(zhì)量M_地．(G＝6. 67×10^－11 N·m²/kg²，結(jié)果保留一位有效數(shù)字)

Answer 1

 6×10²⁴kg

解析試題分析：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r．根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有              ①
于是有             ②
即                   ③                        （6分）
(2)G＝m_月r，M_地＝
代入數(shù)值解得：M_地＝6×10²⁴kg                           （6分）
考點(diǎn)：本題就是考察學(xué)生對(duì)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律的理解和應(yīng)用，
點(diǎn)評(píng)：掌握住開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律和萬有引力定律即可求得結(jié)果，式中的常量k必修是相對(duì)于同一個(gè)中心天體來說的．