Question

如圖，光滑的平行金屬導軌水平放置，導軌間距為L，左側接一阻值為R的電阻．矩形區域abfe內存在垂直軌道平面向下的有界勻強磁場，磁感應強度大小為B．導軌上ac段和bd段單位長度的電阻為r₀，導軌其余部分電阻不計，且ac=bd=x₁．一質量為m，電阻不計的金屬棒MN置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好．金屬棒受到一個水平拉力作用，從磁場的左邊界由靜止開始作勻加速直線運動，加速度大小為a．棒運動到cd處撤去外力，此后棒的速度v_t隨位移x的變化規律滿足vt=v0-

B2L2

mR總

x，且棒在運動到磁場右邊界ef處恰好靜止．求：
（1）用法拉第電磁感應定律導出本題中金屬棒在區域abdc內切割磁感線時產生的感應電動勢隨時間t變化的表達式；
（2）df的長度x₂應滿足什么條件；
（3）金屬棒運動過程中流過電阻R的最大電流值和最小電流值．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律的公式?_感=

△φ

△t

推到感應電動勢隨時間t變化的表達式；
（2）先推導出總電阻的表達式，然后根據vt=v0-

B2L2

mR總

x，得出度x₂應滿足什么條件；
（3）在df段：速度減小，感應電動勢減小且回路總電阻恒定，所以感應電流減小，當速度減為零時，感應電流也為零，即電流最小值為零；或當t=0時電流最小值為零．

解答：解：（1）導體MN向右切割磁感線運動的速度v=at，在極短時間△t內導體MN移動的距離是v△t，穿過回路的磁通量的變化量為：
△φ=B△S=BL（V△T），
?_感=

△φ

△t

=

BL(v．△t)

△t

=BLv=BLat
（2）金屬棒到達cd時的速度為：
v₁=

2ax1

R_總=R+2r₀x₁，
則v_t=v₀-

B2L2

MR總

x，
得：x₂=

2ax ?m?(R+2r0?x1)

B2L2

；
（3）在df段：速度減小，感應電動勢減小且回路總電阻恒定，所以感應電流減小，當速度減為零時，感應電流也為零，即電流最小值為零；或當t=0時電流最小值為零；
在bd段：
I=

BLat

R+2v0. 1 2 at2

=

BLa

R t +r0．at

．
最大電流值討論：
①當滿足

R

t

=r₀．at，即：t=

R r0a

=且

R r0a

≤

2x1 a

（在bd段內能達到最大電流），
I_max=

BL

2

a Rv0

；
②當t=

R r0a

＞

2x1 a

時，當導體棒加速運動到cd處時，I_mex=

BL 2ax1

R+2v0．x1

．
答：（1）用法拉第電磁感應定律導出本題中金屬棒在區域abdc內切割磁感線時產生的感應電動勢隨時間t變化的表達式為BLat；
（2）df的長度x₂應滿足的條件為x₂=

2ax ?m?(R+2r0?x1)

B2L2

；
（3）金屬棒運動過程中，當滿足

R

t

=r₀．at，I_max=

BL

2

a Rv0

；當t=

R r0a

＞

2x1 a

時，I_mex=

BL 2ax1

R+2v0．x1

．電流最小值為0．

點評：根據物理規律找出物理量的關系，通過已知量得出未知量．要善于對物體過程分析和進行受力分析，法拉第電磁感應定律結合運動學公式解決問題．