Question

為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為l = 2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的。其AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個小物塊以初速度v₀＝4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰好沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數 μ = 0.50．（g＝10m/s²、sin37°＝ 0.60、cos37° ＝0.80）

⑴求小物塊到達A點時速度。
⑵要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？
⑶為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？

Answer 1

（1）5m/s（2）半徑滿足 R₁ ≤ 0.66m（3）R₂ ≥ 1.65m

解析試題分析：⑴小物塊做平拋運動，經時間t到達A處時，令下落的高度為h，水平分速度v₀，豎直速度為v_y，小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，則tan37° = v_y/ v₀（2分）
得v_y =" 3" m/s，所以小物塊到A點的速度為5m/s（2分）
⑵物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力 f = μF_N = μmgcos37°（2分）
設物塊進入圓軌道到達最高點時有最小速度v₁，此時物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時的半徑為 R₀，則mg = mv₁²/R₀（2分）
物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中，根據動能定理有：
mg（h + lsin37° – 2R₀） – μmgcos37°·l = mv₁²/2 – mv₀²/2. （2分）
聯立上式，解得R₀ = 0.66m （2分）
若物塊從水平軌道 DE滑出，圓弧軌道的半徑滿足 R₁ ≤ 0.66m（2分）
⑶為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則物塊上升的高度須小于或于某個值R，則mg（h + lsin37°） – μmgcos37°·l – mgR =" 0" – mv₀²/2（2分）
解得R = 1.65m（2分）
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則R₂ ≥ 1.65m（1分）
考點：考查了平拋運動規律，動能定理的應用