Question

（8分）在建筑工地上，我們常常看到工人用重錘將木樁打入地下的情景。對(duì)此，我們可以建立這樣一個(gè)力學(xué)模型：重錘質(zhì)量為M，從高H處由靜止開(kāi)始自由落下，打在質(zhì)量為m的木樁上，重錘打擊木樁的時(shí)間極短且不反彈，不計(jì)空氣阻力，重錘打擊一次，木樁進(jìn)入泥土的深度為h，重力加速度為g。

（1）設(shè)木樁向下移動(dòng)的過(guò)程中泥土對(duì)木樁的作用力是恒力，求此力的大小。

（2）假設(shè)每一次重錘打擊木樁時(shí)重錘的速度為一定值v，要使每一次重錘打擊后木樁更多地進(jìn)入地下，為什么要求重錘的質(zhì)量遠(yuǎn)大于木樁的質(zhì)量？

Answer 1

解析：

（1）設(shè)重錘自由下落到木樁時(shí)的速度為v

，解得：

重錘與木樁碰撞時(shí)間極短，發(fā)生完全非彈性碰撞，動(dòng)量守恒，設(shè)它們的共同速度為v₁

，解得：

重錘和木樁進(jìn)入地面h深，根據(jù)動(dòng)能定理

解得：

（2）設(shè)重錘每次打樁的速度都是v，發(fā)生完全非彈性碰撞后的共同速度是v₁，受到的平均阻力為f，一次打入的深度為h有：

非彈性碰撞后二者的動(dòng)能為

當(dāng)M遠(yuǎn)大于m時(shí)，碰撞后二者的動(dòng)能趨向于（初動(dòng)能），即在碰撞過(guò)程中動(dòng)能損失越趨向于0，由動(dòng)能定理：

在平均阻力不變時(shí)，越大，木樁打入深度就越大。