Question

【題目】如圖所示，一根繩穿過兩個定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現在兩個滑輪之間的繩上掛一個重量為的物體，恰好使得系統處于平衡狀態，求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立坐標系，設出坐標，把平衡關系轉化為向量關系，然后根據三角的相關公式整理出正數關于角的函數，再進行恒等變換求出參數的取值范圍.

如圖建立坐標系，記OB、OA與軸的正半軸的夾角

分別為，則由三角函數定義得，

，

由于系統處于平衡狀態，∴

∴ ，

【方法一】

移項，（1）、（2）平方相加得：，

即 ，

而存在正數使得系統平衡，∴△＝，

∴.（因滑輪大小忽略，寫成亦可，

不扣分．這時均為0）

由（*）解得，由（2）式知

∴，這是關于的增函數，

∴正數的取值范圍為 .

【方法二】

（1）、（2）平方相加得：，

由（1）知，，而

∴ 隨單調遞增，∴

（這里的銳角滿足，此時）

且（寫成不扣分，這時均為0）

∴從而，

∴，即，

∴, ∴正數的取值范圍為.