Question

某儀器用電場和磁場來控制電子在材料表面上方的運動．如圖所示，材料表面上方矩形區域PP'N'N充滿豎直向下的勻強電場，寬為d；矩形區域NN′M′M充滿垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，長為3s，寬為s；NN'為磁場與電場之間的薄隔離層．一個電荷量為e、質量為m、初速為零的電子，從P點開始被電場加速經隔離層垂直進入磁場，電子每次穿越隔離層，運動方向不變，其動能損失是每次穿越前動能的10%，最后電子僅能從磁場邊界M'N'飛出．不計電子所受重力．
（1）求電子第二次與第一次圓周運動半徑之比；
（2）求電場強度的取值范圍；
（3）A是M′N′的中點，若要使電子在A、M′間垂直于AM′飛出，求電子在磁場區域中運動的時間．

Answer 1

分析：（1）電子會在兩個區域內來回穿梭運動，在電場區域內做直線運動，在磁場區域內做圓周運動，且運動半徑越來越小．應用能量關系和在磁場中的運動半徑可知運動軌跡半徑之比．
（2）電子不能從MM^′邊射出，從而確定了最大半徑不能超過S，電子僅能從磁場邊界M'N'飛出，電子所做的軌跡半徑之和不小于3S，從這兩個方面即可求出電場強度的范圍．
（3）最終電子離開磁場時，運動半徑應大于

S

2

，從而判斷出能完成幾個的半圓，最終時間是運動這幾個半圓的時間再加上運動

1

4

圓周的時間．

解答：解：
（1）設圓周運動的半徑分別為R₁、R₂、…R_n、R_n+1…，第一和第二次圓周運動速率分別為v₁和v₂，
動能分別為E_k1和E_k2
由：E_k2=0.81E_k1
R₁=

mv1

Be

，R₂=

mv2

Be

E_k1=

1

2

mv₁²，E_k2=

1

2

mv₂²
得：R₂：R₁=0.9：1
（2）設電場強度為E，第一次到達隔離層前的速率為v′，根據能量關系有：
eEd=

1

2

mv′2
0.9×

1

2

mv′2=

1

2

m

v

2 1

R₁≤s
得：E≤

5B2es2

9md

又由：R_n=0.9^n-1R₁
2R₁（1+0.9+0.9²+…+0.9ⁿ+…）=3s
得：E＞

B2es2

80md

電場強度的取值范圍為

B2es2

80md

＜E≤

5B2es2

9md

（3）設電子在勻強磁場中，圓周運動的周期為，運動的半圓周個數為n，運動總時間為t
由題意，有：

2R1(1-0.9n)

1-0.9

+Rn+1=3s
R₁≤s
R_n+1=0.9ⁿR₁
R_n+1≥

s

2

得：n=2
由題意知，電子在磁場中做了2個半圓和一個

1

4

圓，
由：T=

2πm

eB

得：t=2×

1

2

T+

1

4

T=

5πm

2eB

答：（1）電子第二次與第一次圓周運動半徑之比是0.9：1．
（2）電場強度的取值范圍是

B2es2

80md

＜E≤

5B2es2

9md

（3）電子在磁場區域中運動的時間是

5πm

2eB

點評：當帶電粒子在電磁場中做多過程運動、周期性運動、具有對稱性的運動時，由于多種因素的影響，使問題形成多解．形成多解的原因一般包含以下幾個方面：
（1）帶電粒子電性不能確定形成多解．受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負電荷，在相同的初速度下，正負離子在磁場中運動軌跡不同，導致形成雙解．
（2）臨界狀態不唯一形成多解．帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時，由于粒子運動軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去，也可能轉過108⁰從入射界面這邊反向飛出．
（3）運動的重復性形成多解．帶電粒子在磁場中運動時，由于某些因素的變化，例如磁場的強弱或方向做周期性變化或者速度方向突然反向等，運動具有重復性，因而形成多解．