Question

【題目】如圖所示平面直角坐標系中，P 點在 x 軸上，其坐標 xP＝ 2L ，Q 點在負 y 軸上某處。整個第Ⅰ象限內有平行于 y 軸的勻強電場，第Ⅱ象限和第Ⅳ象限內均有一圓形區域，其中第Ⅱ象限內的圓形區域半徑為 L，與 x 軸相切于 A 點（A 點坐標未知）。第Ⅳ象限內的圓形區域未知， 并且兩個圓形區域內均有垂直于 xOy 平面的相同的勻強磁場。電荷量為+q、質量為 m、速率為 v0 的粒子 a 從A點沿y 軸正方向射入圓形區域，射出圓形區域后沿 x 軸正方向射入第Ⅰ象限，通過 P 點后射入第Ⅳ象限；電荷量為-q、質量為 m、速率為v0 的粒子 b從 Q 點向與 y 軸成 60°夾角的方向射入第Ⅳ象限，經過并離開未知圓形區域后與粒子 a 發生相向正碰。不計粒子的重力和粒子間相互作用力。求:

（1）第Ⅱ象限內圓形區域磁場磁感應強度 B 的大小和方向

（2）第Ⅰ象限內勻強電場的場強大小 E 和方向

（3）第Ⅳ象限內未知圓形磁場區域最小面積 S

Answer 1

【答案】（1） 磁場方向垂直紙面向外。（2） 方向沿y軸負方向；（3）

【解析】

（1）設粒子a在圓形區域內勻強磁場中做圓周運動的半徑為R，則R=L

因為洛倫茲力等于向心力：

聯立解得

方向垂直紙面向外。

（2）設粒子a在第Ⅰ象限內勻強電場中運動的加速度為a0，運動時間為t，則

豎直方向：

水平方向上：

聯立解得

方向沿y軸負方向

（3）設粒子a在P點的速度為v，與x軸正方向的夾角為θ，y軸方向的速度大小是vy，則

，θ=30°

粒子b先做勻速直線運動，進入未知圓形區域，在洛倫茲力作用下向左偏轉120°，離開未知圓形區域，速度方向與離開P點的粒子a的速度在一條直線上，才可能與粒子a發生相向正撞，如圖所示。

設粒子b在未知圓形區域內做勻速圓周運動的圓心為O1，半徑為R1，射入和射出點分別為e和h。
未知圓形區域的最小區域是以he為直徑的圓，設he長為D，則

根據幾何知識可知：

則面積為：

代入數據解得：