Question

【題目】如圖，傾角θ＝370的直軌道AC與圓弧軌道CDEF在AC處平滑連接，整個裝置固定在同一豎直平面內。圓弧劃口直的半徑為R，DF是豎直直徑，以氨為圓心，E、O、B三點在同一水平線上，A、F也在同一水平線上。兩個小滑塊P、Q（都可視為質點）的質量都為m。已知滑塊Q與軌道AC間存在摩擦力且動摩擦因數處處相等，但滑塊P與整個軌道間和滑塊Q與圓弧軌道間的摩擦力都可忽略不計。同時將兩個滑塊P、Q分別靜止釋放在A、B兩點，之后P開始向下滑動，在B點與Q相碰，碰后P、Q立刻一起向下且在BC段保持勻速運動。已知P、Q每次相碰都會立刻合在一起運動但兩者并不粘連，sin370＝0.6，cos370＝0.8，取重力加速度為g，求：

(1）兩滑塊進入圓弧軌道運動過程中對圓弧軌道的壓力的最大值。

(2)滑塊Q在軌道ACI往復運動經過的最大路程。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】（1）滑塊P下滑至碰前，由機械能守恒定律得

①

P、Q碰后一起運動，由動量守恒定律得

②

P、Q一起運動至D點過程，有

③

經過D點時對圓弧軌道的壓力最大，有

④

由牛頓第三定律可知，兩滑塊對圓弧軌道最大壓力

⑤

聯立解得

⑥

（2）由以上計算可知，P、Q整體在D點的動能

⑦

因此它們在圓弧軌道上運動的最高點在E點下方

之后沿軌道返回，再次到達C點的速度大小仍為v2。從C點上滑后P、Q分離，Q比P先到達最高點，且Q運動到最高點時停下。設P、Q上滑的最大位移分別為xP、xQ。對P、Q，由動能定理分別可得

⑧

⑨

由前面P、Q一起勻速下滑可知Q所受的滑動摩擦力

⑩

P再次從最高點下滑至第二次碰Q前，有

P、Q碰后一起運動，有

在P、Q第二次進入直軌道AC運動全過程，Q克服摩擦力做的功

而P、Q碰撞損失的機械能為

由以上各式可以解得Q克服摩擦力做的功與P、Q碰撞損失的機械能之比

P、Q此后多次進入直軌道AC運動過程，遵循同樣的規律，直到最后到達C點的速度減為0，因此從P、Q第二次進入直軌道AC運動到最后不再進入為止，Q克服摩擦力做的功為

滑塊Q在軌道AC上往復運動經過的最大路程

由以上各式解得

⒅

故本題答案是：（1）（2）