Question

如圖所示，豎直放置的圓弧軌道和水平軌道兩部分相連． 水平軌道的右側有一質量為 2m 的滑塊C 與輕質彈簧的一端相連，彈簧的另一端固定在豎直的墻M上，彈簧處于原長時，滑塊C靜止在P 點處；在水平軌道上方O 處，用長為L 的細線懸掛一質量為 m 的小球B，B 球恰好與水平軌道相切，并可繞O點在豎直平面內擺動．質量為 m 的滑塊A 由圓弧軌道上靜止釋放，進入水平軌道與小球B發生彈性碰撞． P 點左方的軌道光滑、右方粗糙，滑塊A、C 與PM 段的動摩擦因數均為μ=0.5，A、B、C 均可視為質點，重力加速度為g．
（1）求滑塊A 從2L高度處由靜止開始下滑，與B碰后瞬間B的速度．
（2）若滑塊A 能以與球B 碰前瞬間相同的速度與滑塊C 相碰，A 至少要從距水平軌道多高的地方開始釋放？（3）在（3）中算出的最小值高度處由靜止釋放A，經一段時間A 與C 相碰，設碰撞時間極短，碰后一起壓縮彈簧，彈簧最大壓縮量為

1

3

L，求彈簧的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出A與B碰撞前的速度，結合動量守恒定律和能量守恒定律求出與B碰后瞬間B的速度．
（2）要使滑塊A 能以與B 碰前瞬間相同的速度與C 碰撞，必須使小球B 受A 撞擊后在豎直平面內完成一個完整的圓周運動后從左方撞擊A，使A 繼續向右運動．抓住小球通過最高點的臨界速度，結合機械能守恒定律求出A下滑的高度．
（3）根據動量守恒定律和能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢能．

解答：解：（1）對A，由機械能守恒得：mg×2L=

1

2

mv02
v₀=2

gL

A與B碰mv₀=mv_A+mv_B

1

2

mv02=

1

2

mvA2+

1

2

mvB2
速度交換，v_B=v₀=2

gL

．
（2）要使滑塊A 能以與B 碰前瞬間相同的速度與C 碰撞，必須使小球B 受A 撞擊后在豎直平面內完成一個完整的圓周運動后從左方撞擊A，使A 繼續向右運動．
設A 從距水平面高為 H 的地方釋放，與B 碰前的速度為v₀
對A，由機械能守恒得：mgH=

1

2

mv02．
設小球B 通過最高點的速度為v_B，則它通過最高點的條件是：
mg≤m

vB2

L

小球B 從最低點到最高點的過程機械能守恒：

1

2

mv02=2mgL+

1

2

mvB2
解得：H≥

5

2

L．
（3）從這個高度下滑的A 與C碰撞前瞬間速度：v0=

5gL

．
設A 與C 碰后瞬間的共同速度為v，由動量守恒：
mv₀=（m+2m）v
A、C 一起壓縮彈簧，由能量守恒定律．有：

1

2

(m+2m)v2=EP+(μmg+μ?2mg)?

1

3

L
解得：EP=

1

3

mgL．
答：（1）與B碰后瞬間B的速度為2

gL

．
（2）滑塊A 能以與球B 碰前瞬間相同的速度與滑塊C 相碰，A 至少要從距水平軌道

5

2

L的地方開始釋放．
（3）彈簧的最大彈性勢能為

1

3

mgL．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、機械能守恒定律、能量守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強，關鍵是理清物體的運動情況，選擇合適的規律進行求解．