Question

【題目】如圖所示，半徑為r的圓弧金屬導軌P1P2和Q1Q2位于豎直平面內，它們分別與位于水平面內的金屬導軌P2P3和Q2Q3相切于P2、Q2兩點，導軌P1P2P3和Q1Q2Q3間距為L，上端P1、Q1用阻值為R的電阻連接，整個裝置固定，導軌所在空間存在方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一質量為m的金屬桿MN從導軌上端P1Q1處由靜止釋放，滑至圓弧導軌最低端P2Q2處的速度為v0，然后在水平導軌上運動直至停止。運動過程中桿MN始終垂直于導軌并與導軌保持良好接觸，不計導軌和桿MN的電阻，不計一切摩擦。

（1）求桿MN從開始運動到停止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱；

（2）求桿MN從開始運動到停止的過程中，通過電阻R上的電荷量；

（3）設桿MN停止的位置到P2Q2的距離為s（未知），求桿MN運動到距P2Q2的距離為ns（0＜n＜1）時，電阻R上的熱功率。

Answer 1

【答案】（1）mgr（2）（3）

【解析】

（1）桿MN從開始運動到停止的過程中，根據功能關系可得電阻R上產生的焦耳熱為：

Q＝mgr

（2）金屬桿滑至圓弧導軌最低端P2Q2處過程中通過R的電荷量為q1，則：

q1＝

水平軌道上運動過程中，根據動量定理可得：

﹣BILt2＝0﹣mv0

此過程中通過R的電荷量為：q2＝It2，

解得：

q2＝

故通過電阻R上的電荷量為：

q＝q1+q2＝

（3）逆向思維，假設桿從距離P2Q2距離為s處開始反向加速到距離P2Q2距離為ns處時的速度為v，則反向加速距離為：

x＝（1﹣n）s

根據動量定理可得：

BILt＝mv

即＝mv，而

t＝x＝（1﹣n）s

解得：

v＝

根據功率的計算公式可得，桿MN運動到距P2Q2的距離為ns（0＜n＜1）時，電阻R上的熱功率為：

P＝＝

答：（1）mgr（2）（3）