Question

如圖甲所示，豎直面MN的左側空間存在豎直向上的勻強電場（上、下及左側無邊界）．一個質量為m、電量為q的可視為質點的帶正電的小球，以大小為V₀的速度垂直于豎直面MN向右作直線運動．小球在t=0時刻通過電場中的P點，為使小球能在以后的運動中豎直向下通過D點（P、D間距為L，且它們的連線垂直于豎直平面MN，D到豎直面MN的距離DQ等于L/π），經過研究，可以在電場所在的空間疊加如圖乙所示隨時間周期性變化的、垂直紙面向里的磁場．（g=10m/s²）求：
（1）場強E的大小；
（2）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件t₁的表達式；
（3）進一步的研究表明，豎直向下的通過D點的小球將做周期性運動．則當小球運動的周期最大時，求出磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小，并在圖中定性畫出小球運動一個周期的軌跡（只需要畫出一種可能的情況）

Answer 1

分析：（1）小球受到電場力與重力相平衡，即可求解；
（2）根據洛倫茲力提供向心力，結合幾何關系，從而即可求解；
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，由周期公式結合長度關系，可求出磁感應強度，由運動軌跡，可求出最大周期．并畫出運動軌跡．

解答：解：（1）小球進入電場，做勻速直線運動時　Eq=mg①
解得：E=

mg

q

      ②
（2）在t₁時刻加磁場，小球在時間t₀內做勻速圓周運動，設圓周運動周期為T₀，半徑為R．
豎直向下通過D點，則：t₀=

3

4

T₀             ③
Bqv0=m

v02

R

④
PF-PD=R     
即v₀t₁-L=R⑤
將③、④代入⑤式解得：t1=

L

v0

+

m

qB0

⑥
（3）小球運動的速率始終不變，當R變大時，T₀也增加，小球在電場中的運動周期T也增加．
在小球不飛出電場的情況下，當T最大時，有：
DQ=2R 即  

L

π

=

2mv0

qB0

⑥
T0=

2πR

v0

=

2πm

B0q

⑦
結合⑥⑦式解得：B0=

2πmv0

qL

⑧
T0=

L

v0

⑨
結合軌跡圖可知，小球在電場中運動的最大周期，T=4×(

3T0

4

+t0)⑩
結合上式解得：T=

6L

v0

小球在電場中運動一個周期的軌跡圖如圖所示；

答：（1）場強E的大小E=

mg

q

；
（2）如果磁感應強度B₀為已知量，試推出滿足條件t₁的表達式得：t1=

L

v0

+

m

qB0

；
（3）磁感應強度B₀及運動的最大周期T的大小：T=

6L

v0

，小球運動一個周期的軌跡如上圖所示．

點評：考查粒子受到電場力與洛倫茲力作用，涉及勻速直線運動與勻速圓周運動，掌握平衡方程與牛頓第二定律的方程，注意幾何知識在題中的應用，并掌握運動軌跡的對稱性．