Question

（2007?湖南模擬）如圖所示，一塊質量為M、長為l的勻質板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質量為m的物塊，物塊上連接一根很長的細繩，細繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪，某人以恒定的速度υ向下拉繩，物塊最多只能到達板的中點，而且此時板的右端尚未到達桌邊定滑輪．求：
（1）物塊與板的動摩擦因數及物塊剛到達板的中點時板的位移；
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物塊能達到板的右端，板與桌面的動摩擦因數的范圍；
（3）若板與桌面間的動摩擦因數取（2）問中的最小值，在物塊從板的左端運動到右端的過程中，人拉繩的力所做的功（其他阻力均不計）

Answer 1

分析：（1）板與物塊都向右做初速度為零的勻加速運動，當兩者速度相等時，木塊與板相對靜止，由牛頓第二定律與運動學公式分析答題．
（2）對板與物塊進行受力分析，由牛頓第二定律求出 加速度，由運動學公式求出位移，然后根據兩者間位移的幾何關系分析答題．
（3）求出物體的位移，然后由功的計算公式求出拉力的功．

解答：解：（1）設物塊在板上滑行的時間為t₁，
由 a=

μ1mg

M

v=at₁∴t1=

Mv

μ1mg

①
設在此過程中物塊前進位移為S₁，板前進位移為S₂，
則S₁=v?t₁②S2=

v

2

t1③S1-S2=

l

2

④
由①②③④得：μ1=

Mv2

mgl

；S2=

l

2

；
故物塊與板間的摩擦因數為μ1=

Mv2

mgl

，物塊到達板的中點時，板的位移S2=

l

2

．
（2）設板與桌面間摩擦因數為μ₂，物塊在板上滑行的時間為t₂，
對木板

[μ1mg-μ2(m+M)g]

M

?t2=v，解得：t2=

Mv

μ1mg-μ2(m+M)g

，
又設物塊從板的左端運動到右端的時間為t₃則v?t3-

v

2

?t3=l，t3=

2l

v

，
為了使物塊能到達板的右端，必須滿足t₂≥t₃即

Mv

μ1mg-μ2(m+M)g

≥

2l

v

μ2≥

Mv2

2(m+M)gl

，
所以為了使物塊能到達板的右端，板與桌面間的摩擦因數μ2≥

Mv2

2(m+M)gl

；
（3）設繩子的拉力為T，物塊從板的左端到達右端的過程中物塊的位移為S₃，
則有T-μ₁mg=0，S₃=v?t₃=2l，
所以由功的計算公式得：WT=T?S3=μ1mg?2l=

Mv2

mgl

?mg?2l=2Mv2，
所以在物塊從板的左端到達板的右端的過程中，繩的拉力做功為2Mv²．
（或W=△E_K+△E+W=

1

2

Mv2+μ1mgl+μ2(M+m)gl=2Mv2）
答：（1）物塊與板的動摩擦因數μ1=

Mv2

mgl

；物塊剛到達板的中點時板的位移

l

2

；
（2）若板與桌面間有摩擦，為使物塊能達到板的右端，板與桌面的動摩擦因數的范圍為μ2≥

Mv2

2(m+M)gl

；
（3）若板與桌面間的動摩擦因數取（2）問中的最小值，在物塊從板的左端運動到右端的過程中，人拉繩的力所做的功為2Mv²．

點評：分析求出物體運動過程、應用牛頓第二定律、運動學公式、功的公式即可正確解題．