Question

某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s．比賽時．某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點．整個過程中球一直保持在球拍中心不動．比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示，設球在運動中受到的空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g．
（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數k；
（2）求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式；
（3）整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件．

Answer 1

（1）在勻速運動階段，有mgtanθ₀=kv₀
得k=

mgtanθ0

v0

（2）加速階段，設球拍對球的支持力為N′，有
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=

a

g

+

v

v0

tanθ₀
（3）以速度v₀勻速運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，有F=

mg

cosθ0

球拍傾角為θ₀+β時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有
Fsinβ=ma′
設勻速跑階段所用時間為t，有t=

s

v0

-

v0

2a

球不從球拍上掉落的條件

1

2

a′t²≤r
得sinβ≤

2rcosθ0

g( s v0 - v0 2a )2

答：（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數k為

mgtanθ0

v0

；
（2）在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式為tanθ=

a

g

+

v

v0

tanθ₀；
（3）β應滿足的條件為sinβ≤

2rcosθ0

g( s v0 - v0 2a )2

．