Question

【題目】已知地球質量為M，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體。在以下問題的討論中，空氣阻力及地球自轉的影響均忽略不計。

（1）物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，叫做第一宇宙速度。請證明第一宇宙速度的大小。

（2）某同學設想從地面以第一宇宙速度的大小豎直上拋一可視為質點的物體，關于物體上升的最大高度，他的解答過程如下：

設物體的質量為m，上升的最大高度為h，重力加速度為g，由機械能守恒定律有：

。 又： ，，所以 聯立得：

老師說該同學的上述解答是不正確的，請指出上述錯誤的原因，并分析說明物體上升的最大高度h應該比大還是小？

（3）試分析說明第（2）問中以第一宇宙速度v1豎直上拋至落回拋出點的整個過程中，物體的速度和加速度的變化情況，并以豎直向上為正方向，在圖中定性畫出物體從拋出到落回拋出點的整個過程中速度隨時間變化的v-t圖像。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）設質量為的物體在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，有：

解得

（2）因為隨著豎直上拋物體高度的升高，離地球越來越遠，萬有引力越來越小，重力加速度（或引力場強度）的值會越來越小。

由于物體上升過程中做減速運動的加速度越來越小，因此物體上升的最大高度應該大于做勻減速上升的高度，即物體上升的最大高度應該大于R/2。

（3）上升過程速度與加速度方向相反，所以速度不斷減小，上升過程中萬有引力越來越小，加速度也越來越小；下降過程速度與加速度方向相同，所以速度不斷增大，下降過程中萬有引力越來越大，加速度也越來越大。

如圖所示：