Question

（2011?安徽）如圖所示，質量M=2kg的滑塊套在光滑的水平軌道上，質量m=1kg的小球通過長L=0.5m的輕質細桿與滑塊上的光滑軸O連接，小球和輕桿可在豎直平面內繞O軸自由轉動，開始輕桿處于水平狀態，現給小球一個豎直向上的初速度v₀=4m/s，g取10m/s²．
（1）若鎖定滑塊，試求小球通過最高點P時對輕桿的作用力大小和方向．
（2）若解除對滑塊的鎖定，試求小球通過最高點時的速度大小．
（3）在滿足 （2）的條件下，試求小球擊中滑塊右側軌道位置點與小球起始位置點間的距離．

Answer 1

分析：（1）小球上升到最高點的過程中，符合機械能守恒定律，先解決最高點小球的速度，再由向心力公式求得細桿對小球的作用力，根據牛頓第三定律知道球對桿的作用力．
（2）解除對滑塊的鎖定，小球在上升過程中，因系統在水平方向上不受外力作用，所以水平方向的動量守恒；另外在上升過程中，因只有重力做功，系統的機械能守恒．聯立動量守恒和機械能守恒方程求解．
（3）系統水平方向的動量守恒，兩個物體速度時刻滿足與質量成反比的關系，在相同的時間內位移也應該滿足這個比例關系，而兩個物體之間的距離和為定值，故距離可求．本題也可以采用質心原理求得．

解答：解：（1）設小球能通過最高點，且此時的速度為v₁．在上升過程中，因只有重力做功，小球的機械能守恒．則

1

2

m

v

2 1

+mgL=

1

2

m

v

2 0

…①
v1=

6

m/s…②
設小球到達最高點時，輕桿對小球的作用力為F，方向向下，
則 F+mg=m

v 2 1

L

…③
由②③式，得 F=2N…④
由牛頓第三定律可知，小球對輕桿的作用力大小為2N，方向豎直向上．
（2）解除鎖定后，設小球通過最高點時的速度為v₂，此時滑塊的速度為V．
在上升過程中，因系統在水平方向上不受外力作用，水平方向的動量守恒．
以水平向右的方向為正方向，有 mv₂-MV=0…⑤
在上升過程中，因只有重力做功，系統的機械能守恒，
則

1

2

m

v

2 2

+

1

2

MV2+mgL=

1

2

m

v

2 0

…⑥
由⑤⑥式，得 v₂=2m/s
（3）設小球擊中滑塊右側軌道的位置點與小球起始點的距離為s₁，滑塊向左移動的距離為s₂，
任意時刻小球的水平速度大小為v₃，滑塊的速度大小為V′．
由系統水平方向的動量守恒，得 mv₃-MV'=0…⑦
將⑦式兩邊同乘以△t，得 mv₃△t-MV'△t=0…⑧
因⑧式對任意時刻附近的微小間隔△t 都成立，累積相加后，有
ms₁-Ms₂=0…⑨
又 s₁+s₂=2L…⑩
由⑨⑩式得 s1=

2

3

m
答：（1）小球通過最高點P時對輕桿的作用力大小為2N，方向豎直向上．
（2）小球通過最高點時的速度v₂=2m/s．
（3）小球擊中滑塊右側軌道位置點與小球起始位置點間的距離s1=

2

3

m

點評：本題考查了連接體問題中的動量守恒和機械能守恒，滑塊鎖定和不鎖定的區別非常重要：滑塊鎖定小球機械能守恒，滑塊解鎖系統機械能守恒兩個物體水平方向上動量守恒；這是一道比較困難的力學綜合題．可以作為高考的壓軸題出現．