Question

【題目】如圖所示，在距地面h=5m的光滑水平桌面上，一輕質彈簧被a（質量為1kg，可視為質點）和b（質量為2kg，可視為質點）兩個小物體壓縮（不拴接），彈簧和小物體均處于靜止狀態。今同時釋放兩個小物體，彈簧恢復原長后，物體a繼續運動最后落在水平地面上，落點距桌子邊緣距離x=2m，物體b則從A端滑上與桌面等高的傳送帶，傳送帶起初以v0=2m/s的速度順時針運轉，在b滑上的同時傳送帶開始以a0=1m/s2的加速度加速運轉，物體和傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2，傳送帶右側B端處固定一豎直放置的光滑半圓軌道BCD，其半徑R=0.8m，小物體b恰能滑上與圓心O等高的C點。取g=10m/s2，求：

（1）處于靜止狀態時，彈簧的彈性勢能Ep；

（2）物塊b由A端運動到B端所經歷的時間；

（3）若要保證小物體b在半圓軌道運動時不脫離軌道，則半圓軌道的半徑應滿足什么要求？

Answer 1

【答案】（1） （2）t＝2 s （3）

【解析】

（1）物體a飛出桌面后做平拋運動：

彈簧彈開ab的過程，對ab系統由動量守恒定律：

由能量守恒定律：

得：va=2m/s vb=1m/s

(2)物體b恰能滑上C點，則b從B-C由動能定理：-mgR=0-

b剛放上傳送帶時，vb<v0，由牛頓第二定律有：μmg＝ma

假設b歷時t1后能與傳送帶達到共速v1，對于b,有：v1＝vb＋at1，

對傳送帶有v1＝v0＋a0t1

解得：t1＝1 s

得：v1＝v0＋a0t1＝3m/s<4 m/s

故物體b此時速度還沒有達到vB，且此后的過程中由于a0<μg，物塊將和傳送帶以共同的加速度運動，設又歷時t2到達B點

vB＝v1＋a0t2

得：t2＝1 s

所以從A運動到B的時間為：t＝t1＋t2＝2 s

(3)討論：物體b恰能到達C點，則不會脫離軌道，由題意得

物體b恰能過軌道最高點D點，則能做完整的圓周運動而不脫離軌道，

在D點滿足：

B-D，由動能定理：

解得：

綜上圓弧軌道半徑需滿足：或