Question

（2012?無錫二模）如圖所示，間距為L的兩條足夠長的平行絕緣軌道與水平面的夾角為θ，兩軌道間有n個長方形勻強磁場區域，磁場區域的寬度為d₁，區域與區域之間的距離為d₂，勻強磁場的磁感應強度為B、方向與導軌平面垂直．一長L′（略大于L）、寬為l、質量為m、電阻為R的長方形導體線圈放在導軌上，線圈恰能保持靜止．現給線圈一個沿軌道平面向下的初速度，線圈恰好滑過n個磁場區域后停止，線圈在運動過程中的長邊始終與軌道垂直．空氣阻力和線圈導線的粗細不計，重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，d₁=d₂=l．求：
（1）線圈全部進入任意一個磁場區域的過程中，通過線圈的電荷量q；
（2）線圈從剛進入磁場區域1到最終停止的過程中，系統產生的總熱量Q；
（3）線圈剛進入磁場區域k（k＜n）時，線圈中的電功率P．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式q=

.

I

△t，求解通過線圈的電量q；
（2）線圈在任一時刻以速度v運動時均有一條長邊在磁場中切割磁感線，線圈會受磁場的安培阻力F作用．由F=BIL，I=

BLv

R

，得到安培力表達式F=

B2L2v

R

，由牛頓第二定律得到
線圈減速運動的瞬時加速度a=

B2L2v

mR

．設經過極短的時間△t，速度減小△v，運動的位移△x，則△v=a△t=

B2L2v△t

mR

，再進行求和，得到線圈開始運動時的初速度，即可根據能量守恒求出系統產生的總熱量Q；
（3）根據上題的結果，求出線圈剛穿出磁場區域（k-1）時速度v_k-1，由P=

(BLvk-1)2

R

求線圈的電功率．

解答：解：（1）在線圈全部滑進某一磁場區域的過程中所用時間為△t，線圈中的平均感應電動勢

.

E

=

△Φ

△t

=

BLl

△t

平均電流

.

I

=

. E

R

則得通過線圈的電量為q=

.

I

△t=

BLl

R

．
（2）線圈在任一時刻以速度v運動時均有一條長邊在磁場中切割磁感線，線圈會受磁場的安培阻力F作用．
則  F=BIL，I=

BLv

R

，得F=

B2L2v

R

線圈減速運動的瞬時加速度a=

B2L2v

mR

經過極短的時間△t，速度減小△v，運動的位移△x，則△v=a△t=

B2L2v△t

mR

又△x=v△t
則得△v=

B2L2

mR

△x
兩邊求和得：△v=

B2L2

mR

△x=

B2L2

mR

△x
即有：v₀=

B2L2

mR

?2nl，其中v₀是線圈開始運動時的初速度．
整個運動過程中所產生的總熱量Q=Q_電熱+Q_摩擦
由能量守恒可知，Q=

1

2

m

v

2 0

+mgsinθ?2nl
聯立解得  Q=

2B4L4n2l2

mR2

+mgsinθ?2nl
（3）線圈剛穿出磁場區域（k-1）時，速度為v_k-1，
  v₀-v_k-1=

B2L2

mR

?2（k-1）l
得v_k-1=

B2L2

mR

?2（n-k+1）l
線圈的電功率  P=

(BLvk-1)2

R

聯立解得，P=

B6L6

m2R3

?4（n-k+1）²l²
答：
（1）線圈全部進入任意一個磁場區域的過程中，通過線圈的電荷量q是

BLl

R

；
（2）線圈從剛進入磁場區域1到最終停止的過程中，系統產生的總熱量Q是

2B4L4n2l2

mR2

+mgsinθ?2nl；
（3）線圈剛進入磁場區域k（k＜n）時，線圈中的電功率P是

B6L6

m2R3

?4（n-k+1）²l²．

點評：電磁感應和能量關系運動是整個物理學的核心，在每年的壓軸題經常會出現．通常有多個問，一般第（1）小問不難，后面的幾問比較難，但不要放棄，要有分部得分意識，因此在復習中要培養學生分析物理問題的能力和分部得分意識．