Question

（2007?揚(yáng)州模擬）有人設(shè)想在地球赤道上垂直于地球表面豎起一根剛性的長桿，桿子的長度是地球半徑的若干倍．長桿隨地球一起自轉(zhuǎn)．在長桿上距地面高度為h=R（R為地球半徑）處，懸掛一個(gè)擺長為L，質(zhì)量為m的單擺（L遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于R）．設(shè)地球半徑R、地球表面的重力加速度g地球的自轉(zhuǎn)周期T₀均為已知，
（1）懸掛單擺處隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度多大？
（2）該單擺的振動(dòng)周期為多少？
（3）單擺懸掛于長桿上距地球表面的高度H為多高處，單擺就無法振動(dòng)？

Answer 1

分析：（1）由于長桿隨地球一起自轉(zhuǎn)，與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，h=R處的向心加速度用公式a=ωr計(jì)算即可．
（2）h=R處的重力加速度就等于萬有引力產(chǎn)生的加速度減去物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)的向心加速度．先計(jì)算出萬有引力產(chǎn)生的加速度g′=

GM

4R2

，所以h=R處的重力加速度g″=g′-a₁，
再根據(jù)單擺周期公式T=2π

l g″

求出振動(dòng)周期．
（3）在地球的同步衛(wèi)星軌道上引力加速度就是隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度．所以同步衛(wèi)星軌道上的重力加速度g″=g′-a₁=0，即單擺在地球同步衛(wèi)星軌道上無法振動(dòng)．
根據(jù)萬有引力提供向心力G

Mm

(R+H)2

=m(

2π

T0

)2(R+H)，化簡可得H的值．

解答：解：（1）由于長桿隨地球一起自轉(zhuǎn)，與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，h=R處的向心加速度應(yīng)為
a1=ω 2?2R=(

2π

T

)2?2R=

8π2R

T02

（2）h=R處的重力加速度就等于萬有引力產(chǎn)生的加速度減去物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)的向心加速度．
萬有引力產(chǎn)生的加速度g′=

GM

4R2

=

gR2

4R2

=

g

4

所以h=R處的重力加速度g″=g′-a1=

g

4

-

8π2R

T02

由單擺周期公式求出振動(dòng)周期T=2π

l g 4 - 8π2R T02

（3）在地球的同步衛(wèi)星軌道上引力加速度就是隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度．
則同步衛(wèi)星軌道上的重力加速度g″=g′-a₁=0．故單擺在地球同步衛(wèi)星軌道上無法振動(dòng)．
由G

Mm

(R+H)2

=m(

2π

T0

)2(R+H)
解得H=

3	GMT02 4π2

-R=

3	gR2T02 4π2

-R
答：（1）懸掛單擺處隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為

8π2R

T02

．
（2）該單擺的振動(dòng)周期為2π

l g 4 - 8π2R T02

．
（3）單擺懸掛于長桿上距地球表面的高度H為

3	gR2T02 4π2

-R處，單擺就無法振動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：考查單擺周期公式，要理解單擺的周期公式的g的物理含義；不能生搬硬套公式，同時(shí)要知道同步軌道上引力加速度就是隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度．