Question

（2010?連云港二模）如圖，兩根足夠長的光滑固定平行金屬導軌與水平面成θ角，導軌間距為d，兩導體棒a和b與導軌垂直放置，兩根導體棒的質量都為m、電阻都為R，回路中其余電阻不計．整個裝置處于垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度的大小為B．在t=0時刻使a沿導軌向上作速度為v的勻速運動，同時將b由靜止釋放，b經過一段時間后也作勻速運動．已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30°，g取10m/s²，不計兩導棒間的相互作用力．
（1）為使導體棒b能沿導軌向下運動，a的速度v不能超過多大？
（2）若a在平行于導軌向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿導軌向上運動，試導出F與b的速率v₂的函數關系式并求出v₂的最大值；
（3）在（2）中，當t=2s時，b的速度達到5.06m/s，2s內回路中產生的焦耳熱為13.2J，求該2s內力F做的功（結果保留三位有效數字）．

Answer 1

分析：（1）要使b棒能下滑，則安培力大于重力的下滑分量；
（2）根據切割公式求解出b的切割電動勢，然后求解出安培力，在對a棒受力分析，根據平衡條件列方程求拉力F的表達式；再對b棒受力分析，根據平衡條件求解最大速度；
（3）先對棒b運用動量定理列式并結合微元法列式，然后求和解出位移；最后再對兩個棒系統運用功能關系列式求解．

解答：解：（1）設a的速度為v₁，由于b初態速度為零，則  I=

E1

2R

=

Bdv1

2R

     ①
對b：FA=BId=

B2d2v1

2R

         ②
F_A＜mgsinθ  ③
將①②式代入③式得：v₁＜10m/s  ④
（2）設a的速度為v₁，b的速度為v₂，回路電流為I，
則：I=

E1+E2

2R

=

Bd(v1+v2)

2R

   ⑤
對a：mgsinθ+F_A=F
即mgsinθ+

B2d2(v1+v2)

2R

=F  ⑥
代入數據得：F=3+

v2

4

  
設b的最大速度為v_m，則有：

B2d2(v1+vm)

2R

=mgsinθ
代入數據得：v_m=8m/s
（3）對b：mgsinθ-F_A=ma   
即mgsinθ-

B2d2(v1+v2)

2R

=ma
取任意無限小△t時間：mg△t?sinθ-

B2d2(v1+v2)

2R

?△t=ma?△t
代入數據并求和得：8∑△t-∑△x₂=2∑△v₂   
即8t-x₂=2v₂  
將t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂=5.88m   
a的位移：x₁=v₁t=2×2=4m
由功能關系知：
WF=

1

2

m

v

2 2

+mgx1sinθ-mgx2sinθ+Q
代入數據得：W_F=14.9J 
答：（1）為使導體棒b能沿導軌向下運動，a的速度v不能超過10m/s；
（2）F與b的速率v₂的函數關系式為F=3+

v2

4

，v₂的最大值為8m/s；
（3）在2s內力F做的功為14.9J．

點評：本題關鍵多次受力分析并根據牛頓第二定律列方程；第3問要運用微元法求解變加速運動的位移，然后運用功能關系列式求解，較難．