Question

【題目】如圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L，已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側，引力常數為G。

（1）求兩星球做圓周運動的周期；

（2）在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期為。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得運行周期記為。已知地球和月球的質量分別為和。求與兩者平方之比（結果保留三位小數）。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力大小相等，且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期，因此有：

聯立解得：

對A根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：

化簡得：

（2）將地月看成雙星，由（1）得

將月球看作繞地心做圓周運動，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：

化簡得：

所以兩種周期的平方比值為：