Question

如圖所示，兩根足夠長的光滑直金屬導軌MN、PQ平行固定在傾角θ=37°的絕緣斜面上，兩導軌間距L=1m，導軌的電阻可忽略．M、P兩點間接有阻值為R=0.3Ω的電阻．一根質量m=1kg、電阻r=0.2Ω的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，與導軌垂直且接觸良好．整套裝置處于磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向下．自圖示位置起，桿ab受到大小為F=0.5v+2（式中v為桿ab運動的速度，力F的單位為N）、方向平行導軌沿斜面向下的拉力作用，由靜止開始運動，測得通過電阻R的電流隨時間均勻增大．g取10m/s²，sin37°=0.6．
（1）試判斷金屬桿ab在勻強磁場中做何種運動，并請寫出推理過程；
（2）求電阻的阻值R；
（3）求金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時間t和該過程中整個回路產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）根據閉合電路歐姆定律得到通過電阻R的電流與速度的關系，根據通過電阻R的電流隨時間均勻增大，分析速度如何變化，判斷金屬桿做何種運動．
（2）根據牛頓第二定律得到加速度與速度的表達式，由于勻加速運動，加速度與速度無關，求出加速度的大小，再求解R．
（3）由位移公式求出金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時間t．運用微元法求解熱量．

解答：解：（1）金屬桿做勻加速運動（或金屬桿做初速為零的勻加速運動）．
通過R的電流I=

E

R+r

=

BLv

R+r

，因通過R的電流I隨時間均勻增大，即桿的速度v隨時間均勻增大，桿的加速度為恒量，故金屬桿做勻加速運動．
（2）對桿，根據牛頓第二定律有：F+mgsinθ-BIL=ma
將F=0.5v+2代入得：
   2+mgsinθ+（0.5-

B2L2

R+r

）v=ma，
因a與v無關，所以
    a=

2+mgsinθ

m

=8m/s2
代入得0.5-

B2L2

R+r

=0 得
  R=0.3Ω
（3）由x=

1

2

at2得，所需時間t=

2x a

=0.5s
在極短時間△t內，回路產生的焦耳熱為
△Q=

(BLv)2

R+r

△t=

(BLat)2

R+r

△t=32t²△t
在t=0.5s內產生的焦耳熱Q=32t²△t=

32

3

×(0.5)3J=

4

3

J
答：
（1）金屬桿ab金屬桿做勻加速運動．
（2）電阻的阻值R=0.3Ω；
（3）金屬桿ab自靜止開始下滑通過位移x=1m所需的時間t=0.5s，該過程中整個回路產生的焦耳熱Q=

4

3

J．

點評：本題考查運用數學知識研究物理問題的能力．對于變速運動中熱量的求解，不能直接根據焦耳定律求，采用微元法或積分法求，要嘗試應用．