Question

如圖所示，可視為質點的、質量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，下列有關說法中正確的是（　　）

• A．小球能夠通過最高點時的最小速度為0
• B．小球能夠通過最高點時的最小速度為

  gR

• C．如果小球在最高點時的速度大小為2

  gR

  ，則此時小球對管道的外壁有作用力
• D．如果小球在最低點時的速度大小為

  5gR

  ，則小球通過最高點時與管道間無相互作用力

Answer 1

分析：圓形管道內能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0．小球在最高點時的速度大小為2

gR

時，由牛頓第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向，再由牛頓第三定律分析小球對管道的作用力．小球從最低點運動到最高點的過程中，只有重力做功，其機械能守恒．在最低點時的速度大小為

5gR

，根據機械能守恒定律求出小球到達最高點時的速度，再由牛頓第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答：解：A、B圓形管道內能支撐小球，小球能夠通過最高點時的最小速度為0．故A正確，B錯誤．
    C、設管道對小球的彈力大小為F，方向豎直向下．由牛頓第二定律得
        mg+F=m

v2

R

，v=2

gR

，代入解得F=3mg＞0，方向豎直向下．
根據牛頓第三定律得知：小球對管道的彈力方向豎直向上，即小球對管道的外壁有作用力．
    D、設小球在最低點和最高點的速度分別為v₁、v₂．根據機械能守恒定律得
     mg?2R+

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

將v₁=

5gR

代入，得到v₂=

gR

   設管道對小球的彈力為N，方向向下．
則由牛頓第二定律得mg+N=m

v 2 2

R

，代入解得  N=0，即小球通過最高點時與管道間無相互作用力．
故選ACD

點評：本題中圓管模型與輕桿模型相似，抓住兩個臨界條件：一是小球恰好到達最高點時，速度為零；二是小球經過最高點與管道恰好無作用力時速度為

gR

．