Question

【題目】如圖所示在豎直平面內，光滑曲面AB與長度l=3m的水平傳送帶BC平滑連接于B點，傳送帶BC右端連接內壁光滑、半徑r=0.55m的四分之一細圓管CD，圓管內徑略大于物塊尺寸，管口D端正下方直立一根勁度系數為k=50N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊。一個質量為m=0.5kg的物塊（可視為質點）從曲面上P點靜止釋放，P點距BC的高度為h=0.8m。（已知彈簧的彈性勢能Ep與彈簧的勁度系數k和形變量x的關系是：Ep=kx2，水平傳送帶與物間的動摩擦因數μ=0.4，重力加速度g取10m/s2。）求：

（1）若傳送帶靜止不動物塊在水平傳送帶BC上前進的距離；

（2）若傳送帶向右勻速運動的速度v0=2m/s，物塊剛進入細圓管CD時對管道的彈力，物塊在壓縮彈簧過程中的最大速度（壓縮彈簧過程未超過彈性限度）；

（3）若傳送帶向右勻速運動的速度v0=2m/s，物塊從第一次進入細圓管后將做周期性的運動。由于物塊與傳送帶發生相對運動，一個周期內帶動傳送帶的電動機多消耗的電能。

Answer 1

【答案】（1）2m（2）4m/s（3）4J

【解析】

（1）物塊從P點靜止釋放到停在傳送帶某處的過程中，根據動能定理得mgh-μmgx=0-0

解得x =2m；

（2）若傳送帶向右勻速運動的速度v0=2m/s，因為傳送帶長度l=3m大于2m，所以物塊到達C點的速度vC=2m/s

物塊經過管道C點，根據牛頓第二定律得mg-N=m

解得，管道對物塊的彈力N=N≈1.36N，方向豎直向上

根據牛頓第三定律得知，物塊對管道的彈力大小N′=N≈1.36N，方向豎直向下。

物塊從C點運動到速度最大的過程，根據平衡條件得mg =kx′

得x′=0.1m

由動能定理得mg(r+x′)-=-

解得，最大速度vm=4m/s

（3）物塊再次回到C點的速度仍為2m/s，它在傳送帶上先向左勻減速運動到速度為零，再向右勻加速運動至C點，速度大小仍為2m/s，因此，電動機多消耗的電能即為物塊與傳送帶之間的摩擦生熱.

物塊向左減速的位移x1===0.5m

物塊與傳送帶間的相對位移△x1=x1+v0

解得△x1=1.5m

物塊向右加速運動的位移x2==0.5m

物塊與傳送帶間的相對位移△x2=v0-x2=0.5m

因此，一個周期內帶動傳送帶的電動機多消耗的電能是E=μmg(△x1+△x2)

解得:E =4J