Question

【題目】過山車是游樂場中常見的設施.下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑R1＝2.0 m、R2＝1.4 m.一個質量為m＝1.0 kg的小球(可視為質點)，從軌道的左側A點以v0＝12.0 m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L1＝6.0 m.小球與水平軌道間的動摩擦因數μ＝0.2，圓形軌道是光滑的.假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊.重力加速度取g＝10 m/s2，計算結果保留小數點后一位數字.試求：

(1)小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；

(2)如果小球恰能通過第二個圓形軌道，B、C間距L應是多少；

(3)在滿足(2)的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑R3應滿足的條件；小球最終停留點與起點A的距離.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 26.0 m

【解析】試題分析：（1）（4分）設小于經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v1根據動能定理

①

小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據牛頓第二定律

②

由①②得③

（2）（4分）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v2，由題意

④

⑤

由④⑤得⑥

（3）（4分）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：

I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v3，應滿足

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得

II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據動能定理

解得

為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應滿足

解得 R3=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或

當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L′，則

當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L〞，則