Question

1932年，勞倫斯和利文斯設計出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如下圖（甲）所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計。磁感應強度為B的勻強磁場與盒面垂直。A處粒子源產生的粒子，質量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U。加速過程中不考慮相對論效應和重力作用。

（1）求粒子第1次和第2次經過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；

（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t和粒子獲得的最大動能E_km；

（3）近年來，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合。例如由直線加速器做為預加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量。n個長度逐個增大的金屬圓筒和一個靶，它們沿軸線排列成一串，如圖（乙）所示（圖中只畫出了六個圓筒，作為示意)。各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端。整個裝置放在高真空容器中。圓筒的兩底面中心開有小孔。現有一電量為q、質量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙處受到電場力的作用而加速（設圓筒內部沒有電場）。縫隙的寬度很小，離子穿過縫隙的時間可以不計。已知離子進入第一個圓筒左端的速度為v₁，且此時第一、二兩個圓筒間的電勢差₁－₂=－U。為為使打到靶上的離子獲得最大能量，各個圓筒的長度應滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量。

Answer 1

（1）設粒子第1次經過狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁，     qU=mv₁²      （1分）

qv₁B=m     （1分）                  解得： 

同理，粒子第2次經過狹縫后的半徑則r₁:r₂  =1:         （2分）

（2）粒子在磁場中運動一個周期，被電場加速兩次。設粒子到出口處被加速了n次，

 nqU=     （2分）qv_mB=m　　得v_m=   （2分）

解得n=  帶電粒子在磁場中運動的周期為 則粒子在磁場中運動的總時間t==  （2分）所以，粒子獲得的最大動能E_km＝＝       （2分）

（3）為使正離子獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時，前一個圓筒的電勢比后一個圓筒的電勢高U，這就要求離子穿過每個圓筒的時間都恰好等于交流電的半個周期。由于圓筒內無電場，離子在筒內做勻速運動。設v_n為離子在第n個圓筒內的速度，則有

第n個圓筒的長度為                （2分）

     

第n個圓筒的長度應滿足的條件為 （n=1，2，3，…2）（2分）

打到靶上的離子的能量為　（n=1，2，3，……）　（3分）