Question

【題目】牛頓利用行星圍繞太陽的運動可看做勻速圓周運動，借助開普勒三定律推導出 兩物體間的引力與它們之間的質量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。牛頓思考月球繞地球運行的原因時，蘋果的偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運動的力與拉著蘋果下落的力，是否都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律----平方反比規律？因此，牛頓開始了著名的“月一地檢驗”。

（1）將月球繞地球運動看作勻速圓周運動。已知月球質量為m，月球半徑為r，地球質量為M，地球半徑為R,地球和月球質心間的距離為L，月球繞地球做勻速圓周運動的線速度為v，求地球和月球之間的相互作用力F。

（2）行星圍繞太陽的運動看做勻速圓周運動，在牛頓的時代，月球與地球的距離r’、月球繞 地球公轉的周期T'等都能比較精確地測定，請你據此寫出計算月球公轉的向心加速度a 的表達式；已知、，地面附近的重力加速度g=9.80m/s2,請你根據這些數據估算比值；

（3）已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請你據此計算月球公轉的向心加速度a和蘋果下落的加速度g的比值，并與（2）中的結果相比較，你能得出什么結論?

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) ,比較（2）中的結果，二者近似相等，由此可以得出結論：牛頓的猜想是正確的，即地球對月球的引力，地面上物體的重力，都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律——平方反比規律

【解析】解：（1）地球和月球之間的相互作用力

（2）由向心加速度的表達式得 ，其中：

聯立可得：

代入相關數據可得：

（3）設月球的質量為m月，地球質量為M，根據牛頓第二定律有：

設蘋果的質量為m，地球半徑為R，根據牛頓第二定律有：

由題意知：r=60R

聯立可得：

比較（2）中的結果，二者近似相等，由此可以得出結論：牛頓的猜想是正確的，即地球對月球的引力，地面上物體的重力，都與太陽吸引行星的力性質相同，遵循著統一的規律——平方反比規律。