Question

（08年北京卷）（20分）有兩個完全相同的小滑塊A和B，A沿光滑水平面以速度v₀與靜止在平面邊緣O點的B發生正碰，碰撞中無機械能損失。碰后B運動的軌跡為OD曲線，如圖所示。

（1）已知滑塊質量為m，碰撞時間為，求碰撞過程中A對B平均沖力的大小。

（2）為了研究物體從光滑拋物線軌道頂端無初速下滑的運動，特制做一個與B平拋軌道完全相同的光滑軌道，并將該軌道固定在與OD曲線重合的位置，讓A沿該軌道無初速下滑（經分析，A下滑過程中不會脫離軌道）。

a．分析A沿軌道下滑到任意一點的動量p_A與B平拋經過該點的動量p_B的大小關系；

b．在OD曲線上有一M點，O和M兩點連線與豎直方向的夾角為45°。求A通過M點時的水平分速度和豎直分速度。

Answer 1

解析：

（1）滑動A與B正碰，滿足

 

mv_A-mV_B=mv₀                                             ①

 

                   ②

 

由①②，解得v_A=0， v_B=v₀，

根據動量定理，滑塊B滿足        F?t=mv₀

解得           

（2）a.設任意點到O點豎直高度差為d。

A、 B由O點分別運動至該點過程中，只有重力做功，所以機械能守恒。

選該任意點為勢能零點，有

E_A=mgd，E_B= mgd+

由于p=，有

 

即   P_AB

A下滑到任意一點的動量總和是小于B平拋經過該點的動量。

b.以O為原點，建立直角坐標系xOy，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向下，則對B有

x=v₀t?y=gt²

B的軌跡方程      y=

在M點x=y，所以  y=                                    ③

因為A、B的運動軌跡均為OD曲線，故在任意一點，兩者速度方向相同。設B水平和豎直分速度大小分別為和，速率為v_B；A水平和豎直分速度大小分別為和，速率為v_A，則

                                                       ④

 

B做平拋運動，故    ⑤

 

對A由機械能守恒得v_A=            ⑥ 

 

由④⑤⑥得

 

將③代入得