Question

地球和某行星在同一軌道平面內同向繞太陽做勻速圓周運動．地球的軌道半徑為R=1.50×10¹¹m，運轉周期為T=3.16×107s．地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球對該行星的觀察視角（簡稱視角）．當行星處于最大視角處時，是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時期，如圖甲或圖乙所示，該行星的最大視角θ=14.5°．求：
（1）該行星的軌道半徑r和運轉周期T₁（sin14.5°=0.25，最終計算結果均保留兩位有效數字）
（2）若已知地球和行星均為逆時針轉動，以圖甲和圖乙為初始位置，分別經過多少時間能再次出現觀測行星的最佳時期．（最終結果用T、T₁、θ 來表示）

Answer 1

分析：（1）當地球與行星的連線與行星軌道相切時，視角最大，根據幾何關系求出行星的軌道半徑，再通過開普勒第三定律求出運轉的周期．
（2）地球和行星均為逆時針轉動，當再次出現觀測行星的最佳時期時角度存在這樣的關系，ωt-ω₁t=（π±2θ），根據該關系求出再次出現觀測行星的最佳時期的時間．

解答：解：（1）由題意當地球與行星的連線與行星軌道相切時，視角最大
可得行星的軌道半徑r為：r=Rsinθ代入數據得r=3.8×10¹⁰m
設行星繞太陽的運轉周期為T′，由開普勒第三定律：有

R3

T2

=

r3

T 2 1

代入數據得T′=4.0×10⁶s
（2）當再次出現觀測行星的最佳時期時角度關系為：ωt-ω₁t=（π±2θ），
即

2π

T

t-

2π

T1

t=π±2θ
解得：t=

(π±2θ)TT1

2π(T-T1)

．
答：（1）該行星的軌道半徑r和運轉周期T₁分別為3.8×10¹⁰m、4.0×10⁶s．
（2）經過

(π±2θ)TT1

2π(T-T1)

再次出現觀測行星的最佳時期．

點評：本題對數學幾何能力的要求較高，會根據幾何關系求出行星的軌道半徑，以及會通過角度關系求出再次出現觀測行星的最佳時期的時間．