Question

【題目】如圖所示，光滑絕緣水平面內有直角坐標系xoy，虛線MN和OD均過O點且都與x軸成60°角。在距x軸為d處平行x軸固定放置一細桿PQ，桿上套有一可以左右滑動的滑塊。勁度系數為k、原長為 d 的輕細彈簧垂直于細桿固定在滑塊上，另一端放置一質量為 m的絕緣小球甲，小球甲與彈簧不栓接。同時在x軸上、沿著彈簧方向放置一質量為3m、帶電量為 – q（q > 0）的小球乙。壓縮彈簧將小球甲從OD上某點釋放，此后，甲球與乙球發生彈性正碰，小球乙隨后進入位于MN左側的有矩形邊界的勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外，矩形的一條邊與MN重合。改變滑塊位置，保證每次小球甲的釋放點都在OD上、且滑塊與兩球在同一條平行于y軸的直線上，并知兩球每次都能發生彈性正碰，且碰撞后小球乙的帶電量不變，結果發現每次小球乙進入磁場后再離開磁場時的位置是同一點。彈簧始終在彈性限度以內，彈性勢能的計算公式是EP =k·ΔL2，ΔL是彈簧的伸長或縮短量，滑塊和小球甲、乙都可視為質點。求：

(1)當滑塊的橫坐標為時，小球甲與乙碰前的速度大小；

(2)勻強磁場的磁感應強度B的大小；

(3)若彈簧的最大壓縮量為d，求矩形磁場區域的最小面積。

Answer 1

【答案】(1) d；(2)；(3) （2 +）d 2

【解析】

(1)如圖，彈簧的壓縮量ΔL與釋放點橫坐標x之間存在關系式

ΔL =

當橫坐標為d時

釋放彈簧后，彈性勢能轉化為小球甲的動能

k·ΔL02 = mv12

整理得

(2)當粒子釋放點坐標為x時，有

小球甲與小球乙發生彈性正碰過程

整理得

乙在磁場中運動時

聯立得

由于 因此當x→0時，r→0時，可見，小球乙離開磁場的位置為O點，由幾何知識得

r = 2 x

即

整理得

(3)當彈簧最大壓縮量為ΔLm =d 時

最大軌道運動如圖所示

最小矩形的長為

a = 2 R

矩形的寬為

矩形面積為