Question

如圖所示，兩根相距為d的足夠長的、光滑的平行金屬導軌位于水平的xoy平面內，左端接有阻值為R的電阻，其他部分的電阻均可忽略不計。在x>0的一側存在方向豎直向下的磁場，磁感應強度大小按B=kx變化（式中k＞0，且為常數）。質量為m的金屬桿與金屬導軌垂直架在導軌上，兩者接觸良好。在x＜0的某位置，金屬桿受到一瞬時沖量，獲得速度大小為v0，方向沿x軸正方向。求：

（1）在金屬桿運動過程中，電阻R上產生的總熱量；

（2）若從金屬桿進入磁場的時刻開始計時，始終有一個方向向左的變力F作用于金屬桿上，使金屬桿的加速度大小恒為a，方向一直沿x軸負方向。求：

a．閉合回路中感應電流持續的時間；

b．金屬桿在磁場中運動過程中，外力F與時間t關系的表達式？

 

Answer 1

（1） （2）a. b.

【解析】

試題分析：（1）金屬桿向右運動切割磁感線產生感應電流，同時金屬桿受安培力，做減速運動，直到停下。在此過程中，金屬桿的動能轉化為電能再轉化成電阻R的焦耳熱。根據能量轉化與守恒，電阻R上產生的熱 （4分）

（2）a．金屬桿在磁場中做切割磁感線的運動，產生感應電流，金屬桿受安培力和變力F的作用做勻變速直線運動，加速度為a方向向左（沿-x方向）。它先向右運動，速度由v0減到0；然后向左運動，速度再由0增大到v0，金屬桿回到x=0處，之后金屬桿離開磁場。金屬桿向右或向左運動時，都切割磁感線，回路中都有感應電流。

感應電流持續的時間為。 （4分）

b．設金屬桿的速度和它的坐標分別為v和x，由運動學公式有

金屬桿切割磁感線產生感應電動勢

(3分)

由于在x<O區域不存在磁場，故只有在時間t < T=范圍內，上述關系式才成立。由歐姆定律可得回路中的電流為

(3分)

金屬桿所受的安培力為

（向左為正方向） (2分)

金屬桿受安培力和變力F做勻變速運動，以向左方向為正方向，由牛頓第二定律有

可得 (2分)

考點：本題考查能量轉化定律，運動學關系、電磁感應和牛頓第二定律。