Question

2007年10月24日，中國首次月球探測工程取得圓滿成功．假設探月宇航員站在月球表面以初速度v₀豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處，已知月球半徑為R，月球的質量分布均勻，萬有引力常量為G，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）人造衛星繞月球做勻速圓周運動的最大速度v_m；
（3）求月球質量M．

Answer 1

分析：（1）月球表面的重力加速度g′就是小球豎直上拋的加速度，可根據勻減速運動的速度公式的求出．
（2）先萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

解出速度的表達式，再根據月球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg′=G

Mm

R2

，得到GM=R²g′=

2v0R2

t

，代入速度的表達式中化簡，當r最小等于地球半徑R時，速度最大．
（3）根據月球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg′=G

Mm

R2

，化簡可得月球的質量M．

解答：解：（1）探月宇航員站在月球表面以初速度v₀豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處，
由豎直上拋運動v0=g′

t

2

，
得：g′=

2v0

t

（2）由萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

，
得v=

GM r

，
又根據月球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg′=G

Mm

R2

，
得GM=R²g′=

2v0R2

t

所以v=

2v0R2 rt

，
當r最小等于地球半徑R時，速度最大為
vm=

2v0R2 Rt

=

2v0R  t

（3）根據月球表面的物體受到的重力等于萬有引力mg′=G

Mm

R2

，
得M=

g′R2

G

=

2v0R2

Gt

．
答：（1）月球表面的重力加速度g′為

2v0

t

；
（2）人造衛星繞月球做勻速圓周運動的最大速度v_m為

2v0R  t

；
（3）求月球質量M為

2v0R2

Gt

．

點評：本題要知道人造衛星繞月球附近做勻速圓周運動時速度最大，根據重力等于向心力也可求解最大速度，這種方法更簡單一些．