Question

如圖所示，真空中有兩水平放置的平行金屬板C、D，上面分別開有正對的小孔O₁和O₂，金屬板C、D接在正弦交流電源上，兩板間的電壓u_CD隨時間t變化的圖線如圖所示．t=0時刻開始，從D板小孔O₁處連續不斷飄入質量為 m=3.2×10^-25kg，電荷量為 q=1.6×10^-19C的帶正電的粒子（可認為飄入速度為零）．在C板外側有以CMNE為邊界的長方形勻強磁場，MN與C金屬板平行，相距d=10cm，O₂C的長度L=15cm，勻強磁場磁感應強度的大小為B=0.10T，方向垂直于紙面向里，粒子的重力及粒子間相互作用力忽略不計．平行金屬板C、D之間的距離足夠小，粒子在兩板間的運動時間可忽略不計．試求：
（1）帶電粒子經小孔O₂進入磁場后，飛出該磁場邊界CM的最小速度為多大？
（2）從0到0.06s末時間內哪些時間段飄入小孔O₁的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN？
（3）在磁場邊界CMNE上，有粒子射出的長度范圍為多長．

Answer 1

分析：粒子在兩板間的運動時間可忽略不計，可認為粒子通過電場的過程中認為電壓不變．粒子在磁場做勻速圓周運動，軌跡與邊界MN相切時，粒子恰好飛出MN，對應的速度最小．根據牛頓第二定律可求出最小速度．分析電壓圖象，確定時間范圍．

解答：解：（1）設粒子飛出該磁場邊界CM的最小速度為v₀，粒子在磁場中做勻速圓周運動，則有
          qv₀B=m

v 2 0

r0

        粒子恰好飛出磁場時，r₀=d
       解得最小速度v₀=

qBd

m

=5×10³m/s
     （2）因為粒子在兩板間的運動時間可忽略不計，所以粒子通過電場的過程中認為電壓不變．
          設恰好飛出磁場邊界MN的粒子在電場中運動時板間電壓為U₀，
         根據動能定理，得qU₀=

1

2

m

v

2 0

，U₀=

m v 2 0

2q

=25V
         根據電壓圖象可知，U_CD=50sin50πtV，得到U₀=25V時，對應時刻分別為

1

300

s和

1

60

s．
         故從0到0.06s末時間內，飛出磁場邊界MN時間為

1

300

s∽

1

60

s．
   （3）設粒子在磁場中運動的最大速度為vm，對應的最大半徑為Rm，
        則qU_m=

1

2

m

v

2 m

，qv_mB=m

v 2 m

Rm

粒子飛出磁場邊界時相對小孔向左偏移的最小距離為
        x=R_m-

R 2 m -d2

代入數據，解得x=0.0414m
則在磁場邊界CMNE上，有粒子射出的長度范圍為
△x=d-x=0.0586m
答：（1）飛出該磁場邊界CM的最小速度為5×10³m/s．
    （2）從0到0.06s末時間內，在

1

300

s∽

1

60

s時間段飄入小孔O₁的粒子能穿過電場并飛出磁場邊界MN．
    （3）在磁場邊界CMNE上，有粒子射出的長度范圍為0.0586m．

點評：粒子在磁場中圓周運動問題處理的基本方法是畫軌跡，往往從分析邊界情況，得到臨界速度．常常用到幾何和三角知識求解半徑．