Question

【題目】如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑 圓弧管道 BC 連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連．小球可以從D進入該軌道，沿軌道內 側運動，從E滑出該軌道進入EF水平軌道．小球由靜止從A點釋放，已知AB長為5R，CD長為 R，重力加速度為 g，小球與斜軌 AB 及水平軌道CD、EF的動摩擦因數均為 0.5，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R.(sin37°=0.6，cos37°=0.8)求：

(1)小球對剛到C時對軌道的作用力；

(2)要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑 R′應該滿足什么條件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D(或E)多遠？（注：在運算中，根號中的數值無需算出）

Answer 1

【答案】(1) 球對軌道的作用力為6.6mg，方向豎直向下 (2)b球將停在D點左側，距D點0.6R處

【解析】

（1）設小球到達C點時速度為v，a球從A運動至C過程，由動能定理有：

可得：

小球沿BC軌道做圓周運動，設在C點時軌道對球的作用力為N，由牛頓第二定律，有：

其中r滿足：

r+rsin53°=1.8R

聯立上式可得：

N=6.6mg

由牛頓第三定律可得，球對軌道的作用力為6.6mg，方向豎直向下．

（2）球不脫離軌道，有兩種情況：

情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道．則小球在最高點P應滿足：

小球從C直到P點過程，由動能定理，有：

可得：

情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點時，速度減為零，然后滑回D．則由動能定理有：

解得：

R'=2.3R

要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R'應該滿足：R'=0.92R或R'=2.3R；

若R'=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，設其能向左滑過DC軌道，并沿CB運動到達B點，在B點的速度為vB，則由能量守恒定律有：

可得：

故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球將在兩圓軌道之間做往返運動，小球將停在CD軌道上的某處．設小球在CD軌道上運動的總路程為S，則由能量守恒定律，有：

聯立兩式可得：

S=5.6R

所以知，b球將停在D點左側，距D點0.6R處