Question

(18分)如圖所示，勁度系數k＝100N/m的一根輕質彈簧，右端固定在豎直墻壁上，左端連接一質量m＝1.0kg的小物塊，開始時彈簧處于原長，小物塊靜止于O點，現將小物塊緩慢向左拉動至A點后釋放，讓小物塊沿水平面向右運動起來，已知OA長度L＝0.25m，小物塊與水平面間的動摩擦因數μ＝0.1，最大靜摩擦力可看成等于滑動摩擦力的大小，g取10m/s²。

⑴試在坐標紙中作出小物塊在由O移動到A的過程中，彈簧彈力F隨伸長量x變化的F-x圖象，類比于由v-t圖象求位移的方法，求此過程中克服彈簧彈力做的功W；
⑵求小物塊從A點向右運動過程中的最大速度v；
⑶求小物塊從A點開始運動后，第一次到達最右端時，彈簧的形變量；
⑷求小物塊從A點開始運動直至靜止的總路程。

Answer 1

⑴
，W＝3.125J；
⑵v＝2.4m/s；⑶x₁＝0.23m；⑷s＝3.12m

解析試題分析：根據胡克定律可知，彈簧彈力F與伸長量x的關系為：F＝kx＝100x，其中0≤x≤0.25m
其F-x圖象如下圖所示

在F-x圖象中圖線與x軸所圍的面積即表示了此過程中克服彈簧彈力做的功，有：W＝＝3.125J
⑵小物塊從A點向右運動過程中受重力mg、地面的支持力N和滑動摩擦力f，以及彈簧彈力F作用，根據牛頓第二定律分析可知，此時小物塊向右先做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度減小為零時，其速度達到最大，設此時彈簧的拉伸量為x₀，有：kx₀＝μmg
解得：x₀＝0.01m
此過程中彈簧彈力做的功為：W₀＝×0.24J＝3.12J
根據動能定理有：W₀－μmg(L－x₀)＝－0
解得：v＝2.4m/s
⑶設小物塊第一次到達最右端時，彈簧的壓縮量為x₁，小物塊從A點運動到最右端的過程中，彈簧彈力先做正功，后做負功，根據動能定理有：－－μmg(L＋x₁)＝0－0
解得：L－x₁＝＝0.02m，即x₁＝0.23m
⑷設從A點釋放小物塊后，小物塊共出現n次速度為零，且只要kx＞μmg，小物塊總能回到O點，在滿足kx＞μmg時，小物塊每一次由最右端運動至最左端或由最左端運動至最右端(即小物塊連續兩次速度為零)的過程中，彈簧總是先做正功再做負功，設物塊第n－1次速度為零時，彈簧的形變量為x_n－1，第n次速度為零時，彈簧的形變量為x_n，根據動能定理有：－－μmg(x_n－1＋x_n)＝0－0
解得：Δx＝x_n－1－x_n＝0.02m
有：k(L－nΔx)≤μmg＜k[L－(n－1)Δx]，解得：12≤n＜13，即取n＝12
對全程，根據動能定理有：－－μmgs＝0－0
解得：s＝＝3.12m
考點：本題主要考查了胡克定律、動能定理(功能關系)及圖象的應用問題，屬于較難題。