Question

過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個質量為kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以的初速度沿軌道向右運動，A、B間距m。小球與水平軌道間的動摩擦因數，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計算結果保留小數點后一位數字。試求

   （1）小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大小；

   （2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應是多少；

   （3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑應滿足的條件；小球最終停留點與起點的距離。

Answer 1

（1）10．0N；（2）12．5m（3） 當時， ；當時，

    解析：（1）設小于經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁根據動能定理

                        ①

    小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據牛頓第二定律

                                         ②

    由①②得                                                       ③

    （2）設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，由題意

                                            ④

                   ⑤

    由④⑤得                                                    ⑥

    （3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：

    I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v₃，應滿足

                                         ⑦

                   ⑧

    由⑥⑦⑧得            

    II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₃，根據動能定理

   

    解得                  

    為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應滿足

   

    解得               R₃=27．9m

    綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

   

    或              

    當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L′，則

   

    當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L〞，則

   

解析:

略