Question

（2007?徐州一模）如圖所示，傾角θ=37゜的傳送帶AB長L=20m，以v=5m/s速度沿順時針方向勻速轉動．質量M=lkg的木塊由AB的中點c從靜止開始下滑，0.5s后被一顆質量 m=20g的子彈以速度v₀=500m/s沿傳送帶向上正對射入，子彈穿出時的速度u=200m/s．以后每隔1.5s就有一顆質量和速度相同的子彈射人木塊．設子彈射穿木塊的時間極短，且每次射人時木塊對子彈的阻力相同．已知木塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.25，sin37゜=0.60，cos37゜=O．80，g取lOm/s²．求：
（1）在被第二顆子彈擊中前．木塊離傳送帶下端A點的最大距離；
（2）木塊在傳送帶上最多能被多少顆子彈擊中；
（3）在木塊從c點開始運動到最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統產生的內能．

Answer 1

分析：（1）對滑塊受力分析，受重力、支持力和摩擦力，根據牛頓第二定律求解出下滑的加速度，根據運動學公式求解出0.5s時刻的速度和位移；第一顆子彈射出木塊過程，子彈與木塊系統的內力遠大于外力，系統動量守恒；此后做勻減速直線運動到達最高點；
（2）通過計算找出重復過程：每次下滑0.5m后再上滑2m；
（3）產生的內能分為子彈射出木塊過程的內能和木塊與傳送帶摩擦的內能，分別根據運動學公式和功能關系列式求解出各段過程的內能后求和．

解答：解：（1）木塊沿斜面向下加速滑動，設木塊下滑時加速度為a₁．
由牛頓第二定律，有：a1=

Mgsin37°-μMgcos37°

M

=g(sin37°-μcos37°)=4m/s2；
設木塊下滑0.5s時速度為v₁，則v₁=a₁t₁=4×0.5=2m/s；
木塊下滑的距離S₁=

1

2

a1

t

2 1

=0.5m；
設子彈打擊木塊后，木塊速度v₂，打擊時，由動量守恒定律，有：mu-Mv₁=mu′+Mv₂，得
v2=

m(u-u′)-Mv1

M

=4m/s；
木塊上滑時加速度為a₂，由于木塊速度小于傳送帶的速度，所以摩擦力的方向沿斜面向上，所以加速度a₂=a_l=4m/s²
術塊上滑的最遠距離：
S2=

v 2 2

2a2

=2m
在被第二顆子彈擊中前，木塊沿斜面向上運動離A點的最大距離：
d=

1

2

L-S1+S2=11.5m
（2）木塊上滑的時間
t₂=

v2

a2

=1s
因為子彈射入木塊的時間間隔△t=1.5s，所以木塊上滑2．Om后再下滑，0.5s后子彈又射入木塊，以后的運動重復：每次木塊上滑2．Om后再下滑O.5m．每次子彈打擊后，木塊上升1.5m，第6顆子彈穿射木塊后，木塊共上滑9m，此后距離上端還有1.5m．第7顆子彈射穿木塊后，木塊沿斜面上滑最后離開斜面，所以木塊在斜面上最多能被7顆子彈擊中．  
（3）每次子彈穿射木塊，產生的內能相同，
E₁=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

mu2-

1

2

M

v

2 2

-

1

2

mu′2=2094J；
每次木塊下滑0.5m，傳送帶上升的距離S₁′=vt₁=2.5m
產生的內能E₂=μMgcos37°?（S₁+S₁′）=6J
每次木塊上滑2．Om，傳送帶上升的距離S₂′=vt₂=5m
產的內能E₃=μMg（S₂′-S₂）=6J
第7子彈射穿木塊后，術塊沿斜面只能上滑S₃=1.5m
設木塊上滑的時間為t₃，根據位移時間關系公式，有：S₃=v₂t₃-

1

2

a2

t

2 3

解得t₃=0.5s和l.5s（l.5s舍去，因為滑塊不可能返回）
傳送帶上升的距離S₃′=vt₃=2.5m
此過程產生的內能為：E₄=μMg（S₃′-S₃）=2J
故產生的總的內能：E=7E₁+7E₂+6E₃+E₄=7×2094J+7×6J+6×6J+2J=14738J
答：（1）在被第二顆子彈擊中前．木塊離傳送帶下端A點的最大距離為11.5m；
（2）木塊在傳送帶上最多能被7顆子彈擊中；
（3）在木塊從c點開始運動到最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統產生的內能為14738J．

點評：解決本題的關鍵理清木塊的運動過程，結合牛頓第二定律、動量守恒定律、運動學公式和功能關系進行求解，較難．